计算机组成原理串讲 第二章 数据编码与运算

计算机组成原理串讲　第二章 数据编码与运算（一）

作者：不详　来源：希赛网  http://www.csai.cn  2006年4月28日

第一节 数据编码

一、定点数的编码

定点数
数值表示：（逢二进一）
x = x0x1x2…xn xi={0,1}, 0≤i≤n
x02n + x12n-1 + … + xn-121 + xn
数值范围
0≤x≤2n+1-1
定点小数
数值表示
x = x0 . x1x2…xn xi={0,1}, 0≤i≤n
x12-1 + … + xn-12-n+1 + xn2-n
数值范围
0≤x≤1-2-n
1. 原码表示法
定义（编码规则）
[x]原 = [x]原
数值（求值方法）
x = (-1)x0（x12n-1 + … xn-12 + xn） x = (-1)x0（x12-1 + … xn-12-(n-1) + xn2-n）
数值范围
-2n +1 ≤ x ≤ 2n -1 -1+2-n ≤ x≤ 1-2-n
简便编码方法：加符号位

表 带符号数的四种编码表示

x0x1x2x3	作为原码编码时代表的值
0000	0
0001	+1
0010	+2
0011	+3
0100	+4
0101	+5
0110	+6
0111	+7
1000	-0
1001	-1
1010	-2
1011	-3
1100	-4
1101	-5
1110	-6
1111	-7

在数轴上的表示：

2. 补码表示法
编码规则
[x]补 =
求值方法
x = -x02n + x12n-1 + … + xn-12 + xn
例如：10000100的真值为-128+4=-124
数值范围
-2n≤ x ≤ 2n -1
简便方法1：正值直接取其原来的二进制码，对于负数是在对其按位取反之后再在最低位加1；
简便方法2：从最低位开始，对遇到的0和第一个1取其原码，从第一个1以后开始直到最高位均取其按位反码。
表 带符号数的四种编码表示

x0x1x2x3	原码	补码
0000	0	0
0001	+1	+1
0010	+2	+2
0011	+3	+3
0100	+4	+4
0101	+5	+5
0110	+6	+6
0111	+7	+7
1000	-0	-8
1001	-1	-7
1010	-2	-6
1011	-3	-5
1100	-4	-4
1101	-5	-3
1110	-6	-2
1111	-7	-1

在数轴上的表示：

模4补码
[x]补 =

 

3. 反码表示法
[x]反 =
x = -x0 (2n - 1) + x12n-1 + … + xn-12 + xn
-2n +1≤ x ≤ 2n -1
表 带符号数的四种编码表示

x0x1x2x3	原码	反码	补码
0000	0	0	0
0001	+1	+1	+1
0010	+2	+2	+2
0011	+3	+3	+3
0100	+4	+4	+4
0101	+5	+5	+5
0110	+6	+6	+6
0111	+7	+7	+7
1000	-0	-7	-8
1001	-1	-6	-7
1010	-2	-5	-6
1011	-3	-4	-5
1100	-4	-3	-4
1101	-5	-2	-3
1110	-6	-1	-2
1111	-7	-0	-1

在数轴上的表示：

4. 移码表示法
定义
[x]移 = 2n+x, -2n ≤ x < 2n
数值范围
-2n ≤ x ≤2n - 1
特点：保持了数据原有的大小顺序，便于进行比较操作。
表 带符号数的四种编码表示

x0x1x2x3	原码	反码	补码	移码
0000	0	0	0	-8
0001	+1	+1	+1	-7
0010	+2	+2	+2	-6
0011	+3	+3	+3	-5
0100	+4	+4	+4	-4
0101	+5	+5	+5	-3
0110	+6	+6	+6	-2
0111	+7	+7	+7	-1
1000	-0	-7	-8	0
1001	-1	-6	-7	1
1010	-2	-5	-6	2
1011	-3	-4	-5	3
1100	-4	-3	-4	4
1101	-5	-2	-3	5
1110	-6	-1	-2	6
1111	-7	-0	-1	7

在数轴上的表示：

定点小数没有移码定义
移码与补码的关系
编码表示的常见错误：编码与数值错位，编码带符号位，编码省略高位0

 

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计算机组成原理串讲　第二章 数据编码与运算（二）

作者：不详　来源：希赛网  http://www.csai.cn  2006年4月28日

第一节 数据编码

二、浮点数的编码

构成：阶码E，尾数M，符号位S，基数R
N = (-1)S×M×RE

S

E

M

规格化：为了在尾数中表示最多的有效数据位，为了数据表示的唯一性。
E的编码：移码
M的编码：原码或补码（尾数为补码时的规格化要求）
R进制的含义：多个二进制位构成一组，代表一个R进制位（R为2的幂次）
机器零：尾数部分为0，特殊的数据编码(非规格)
浮点数的表示范围：
例：以R为基数，有p位阶码和m位二进制尾数代码的浮点数，阶码采用二进制正整数编码表示，求数值表示范围及可表示的数据个数。
解：最小规格化尾数：1/R
最大规格化尾数：1 - 2-m
最大阶码：2p - 1
最小阶码：0
最小值：1/R
最大值：
规格化尾数个数为2m×(R-1)/R
可表示的数据个数为2p+m(R-1)/R +1。
注：本例中没有符号位，也没有考虑阶码为负的情况。如果考虑这些因素就要考虑阶码和尾数的编码方式。
浮点数的溢出:

浮点数标准(IEEE754)
三种格式：短实数、长实数、临时实数
无定义数据：发信号的S，不发信号的Q
无穷大：+INF, -INF
规格化数：
(-1)s×1.f×2e-127
尾数为原码，阶码为特殊移码
非规格化数：（逐级下溢）
(-1)s×0.f×2e-126
数值范围：
IEEE754浮点数的范围如下表
表2-5 IEEE754浮点数的数值范围

格式	最小值	最大值
单精度	E=1, M=0, 1.0×21-127 = 2-126	E=254, f=.1111…, 1.111…1×2254-127 = 2127×(2-2-23)
双精度	E=1, M=0, 1.0×21-1023 =2-1022	E=2046, f=.1111…, 1.111…1×22046-1023 =21023×(2-2-52)

习题：15、16、19

三、检错码

数据校验码：分组码、卷积码
奇偶校验码
码距：两个合法代码对应位上编码不同的位数
奇偶校验码的原理：在编码中引入一定的冗余，增加代码的最小码距，使得编码中出现一个错误时就成为非法代码。

四、纠错码

线性码：任意两个合法码字求和可得到另一个合法码字。（奇偶校验码不是线性码）
海明码：
码长n=2m - 1
信息位数k=2m - m - 1
校验位数m= n - k
最小码距d = 3
例：
一种(7,4)海明码的定义为：
c1 = x1 + x2 + x3
c2 = x2 + x3 + x4
c3 = x1 + x2 + x4
将这些信息位和校验位构成码字w，即
w = {x1,x2,x3,x4,c1,c2,c3}={w1,w2,w3,w4,w5,w6,w7}。
校验方程：
w1 + w2 + w3 + w5 = 0
w2 + w3 + w4 +w6 = 0
w1 + w2 + w4 + w7 = 0
矩阵表示：
H×W = = 0
H称为校验矩阵。
校正子： S = H×Y = H (W+E) = H×E 其中Y为接收的码字
校正表：
表2-6 (7,4)海明码校正表

e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7	s1	s2	s3
1	0	0	0	0	0	0	1	0	1
0	1	0	0	0	0	0	1	1	1
0	0	1	0	0	0	0	1	1	0
0	0	0	1	0	0	0	0	1	1
0	0	0	0	1	0	0	1	0	0
0	0	0	0	0	1	0	0	1	0
0	0	0	0	0	0	1	0	0	1
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

循环码：线性码中若一个n位编码V = {v0,v1,v2,…,vn-1}是码C的一个码字，那么V向 右循环移动一位后的n位编码 V1 = {vn-1,v0,v1,…,vn-2}也是码C的一个码字。
码字多项式表示：
V(x) = vn-1xn-1 + … + v1x + v0
循环码的特性：生成多项式可整除循环码多项式。
编码方法一：给定一个码字，生成相同信息位循环码的方法（求余法）
= Q(x) +
xrB(x) = Q(x)G(x) + R(x)
等式两边加上R(x)
xrB(x) + R(x) = Q(x)G(x)
见教材的例子
编码方法二：给定全部代码，求循环码的方法（生成多项式法）
例 对四位信息码1010进行CRC编码，生成多项式是G(x) = x3 + x + 1。
解：(1) 将4位信息码表示为多项式B(x)：
B(x) = x3 + x
(2) 将信息码多项式与生成多项式相乘，得码字多项式：
V(x) = B(x)G(x) = (x3+x)(x3+x+1) = x6 + x3+x2+x
(3) 将码字多项式转换成代码表示，得CRC编码结果：
1001110
编码方法三：生成矩阵法

例：G(x) = x3 + x + 1，其生成矩阵是
G =