关于棋盘马走“日”字问题的回溯算法实现(分享以前做过的题)

1. 回溯法基本思想

   回溯法是在包含问题的所有解得解空间树(或森林)中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否满足问题的约束条件。如果满足进入该子树，继续
按照深度优先的策略进行搜索。否则，不去搜索以该结点为根的子树，而是逐层向其祖先结点回溯。

   回溯法在用来求解问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都已被搜索遍才结束。而回溯法
在用来求解问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。适用于解决一些最优化问题。

2. 算法设计过程

(1) 确定问题的解空间
   
    应用回溯法解决问题时，首先应明确定义问题的解空间。问题的解空间应至少包含问题的一个最优解。

(2) 确定结点的扩展规则
   
     约束条件。

(3) 搜索解空间
  
    回溯算法从开始结点(根结点)出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也
成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并
成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应该往回
移动(回溯)至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中
搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。

3. 算法框架

(1) 问题框架

    设问题的解是一个n维向量(a1,a2,...,an),约束条件是ai(i1,2,...,n)之间满足某种条件，记为f(ai)。

(2) 非递归回溯框架

   int a[n], i;
   i=1;

   while(i>0(有路可走) and [未达到目标]){ //还未回溯到头
if(i>n){                          //搜索到叶结点
   搜索到一个解，输出；
        }else{
    a[i]第一个可能的值；
    while(a[i]不满足约束条件且在搜索空间内)
               a[i]下一可能的值；
            if(a[i]在搜索空间内){
标识占用的资源；
        i = i+1;                 //扩展下一个结点
    }else{
清理所占的状态空间；
                i = i-1;                 //回溯
    }
}
   }

(3)递归算法框架

   int a[n];
   try(int i){
if(i>n){
    输出结果；
}else{
    for(j=下界; j<=上界; j++){//枚举i所有可能的路径
if(f(j)){             //满足限界函数和约束条件
    a[i] = j;
                    ...               //其他操作
                    try(i+1);
                    a[i] = 0;         //回溯前的清理工作(如a[i]置空)
                }
    }
}
   }

4. 一个例子

  (1) 问题描述
     
      马的遍历问题。
      在n*m的棋盘中，马只能走"日"字。马从位置(x,y)出发，把棋盘的每一格都走一次且只走一次。找出所有路径。

  (2) 问题分析

      马是在棋盘的点上行走的，所以这里的棋盘是指行有N条边、列有M条边。而一个马在不出边界的情况下有8个方向
可以行走(走"日"字)，如当前坐标为(x,y)，则行走后的坐标可以为:
     (x+1, y+2)
     (x+1, y-2)
     (x+2, y+1)
     (x+2, y-1)
     (x-1, y-2)
     (x-1, y+2)
     (x-2, y-1)
     (x-2, y+1)

     搜索的解空间是整个棋盘上的n*m个点。
     约束条件是不出边界且每个点只经过一次。
     搜索过程是从任一点(x,y)出发，按照深度优先的原则，从8个方向中尝试一个可以走的点，直到走过棋盘上所有
n*m个点。

5. Java代码实现

package test;

/**
 * create on 2010.05.21 TODO 回溯算法
 * 
 * @author 毛正吉
 * @version v1.0
 * 
 */
public class RecollectionSearch {

	/**
	 * @param args
	 */
	public static void main(String[] args) {
		// 注意(0<=x<n && 0<=y<m)
		int n = 5;
		int m = 4;
		int x = 0;
		int y = 0;
		RecollectionSearch rs = new RecollectionSearch(n, m, x, y);
		rs.find(x, y, 2);
		System.out.println("######################");
		System.out.println("总解数count=" + rs.getCount());
		System.out.println("######################");

	}

	// 棋盘行数
	private int n;
	// 棋盘列数
	private int m;
	// 马的起始x坐标
	private int x;
	// 马的起始y坐标
	private int y;
	// 棋盘坐标
	private int[][] a;
	// 求解总数
	private int count;
	// "日"子x坐标
	public int[] fx = { 1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1 };
	// "日"子y坐标
	public int[] fy = { 2, 1, -1, -2, -2, -1, 1, 2 };

	/**
	 * 构造方法
	 * 
	 * @param _n
	 * @param _m
	 * @param _x
	 * @param _y
	 */
	public RecollectionSearch(int _n, int _m, int _x, int _y) {
		n = _n;
		m = _m;
		x = _x;
		y = _y;
		a = new int[n][m];
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			for (int j = 0; j < m; j++) {
				a[i][j] = 0;
			}
		}
		// 马的起点
		a[x][y] = 1;
		count = 0;
	}

	public void find(int x, int y, int dep) {
		int i, xx, yy;
		for (i = 0; i < 7; i++) {
			xx = x + fx[i];
			yy = y + fy[i];
			// 判断新坐标是否出界，是否已走过
			if (check(xx, yy) == 1) {
				a[xx][yy] = dep;
				if (dep == n * m) {
					output();
				} else {
					// 从新坐标出发，递归下一层
					find(xx, yy, dep + 1);
				}
				// 回溯，恢复未走标志
				a[xx][yy] = 0;
			}
		}
	}

	/**
	 * 判断新坐标是否出界，是否已走过
	 * 
	 * @param xx
	 * @param yy
	 * @return
	 */
	public int check(int xx, int yy) {
		if (xx >= n || yy >= m || xx < 0 || yy < 0 || a[xx][yy] != 0) {
			return 0;
		}
		return 1;
	}

	/**
	 * 输出结果
	 */
	public void output() {
		count++;
		System.out.println("count=" + count);
		for (int y = 0; y < n; y++) {
			System.out.println("");
			for (int x = 0; x < m; x++) {
				System.out.print(a[y][x] + " ");
			}
		}
		System.out.println("");
	}

	public int getN() {
		return n;
	}

	public void setN(int n) {
		this.n = n;
	}

	public int getM() {
		return m;
	}

	public void setM(int m) {
		this.m = m;
	}

	public int getCount() {
		return count;
	}

	public void setCount(int count) {
		this.count = count;
	}

	public int getX() {
		return x;
	}

	public void setX(int x) {
		this.x = x;
	}

	public int getY() {
		return y;
	}

	public void setY(int y) {
		this.y = y;
	}
}

  
     

评论

2 楼 maozj 2010-05-24  

crazysky 写道

第72行代码        for (i = 0; i < 7; i++) { 

这里的i < 8才对吧?不是有8个方向吗？

恩~~ 您说的对 应该是第72行代码        for (i = 0; i < 8; i++) {  谢谢

1 楼 crazysky 2010-05-23  

第72行代码        for (i = 0; i < 7; i++) { 

这里的i < 8才对吧?不是有8个方向吗？