约瑟夫问题的数学方法

问题描述
约瑟夫问题：有ｎ只猴子，按顺时针方向围成一圈选大王（编号从１到ｎ），从第１号
开始报数，一直数到ｍ，数到ｍ的猴子退出圈外，剩下的猴子再接着从1 开始报数。就这样，
直到圈内只剩下一只猴子时，这个猴子就是猴王，编程求输入ｎ，ｍ后，输出最后猴王的编
号。

问题解答：
在此先给出一般问题的解答思路

#include <stdio.h>
void initialize(char* arg, int n){
	int i;
	for(i = 0; i < n; i ++){
		arg[i] = i + 1;
	}
}
int finalMonkey(char* arg, int n){
	int i;
	for(i = 0; i < n; i++){
		if(arg[i])
			return arg[i];
	}
}

int main(){
	int n, m;
	while(scanf("%d %d", &n, &m) && n != 0 && m != 0){
		char monkeyLoop[300] = {0};
		initialize(monkeyLoop, n);
		int i,j = 0, k = 0, ptr = 0;
		while(1){
			while(j < n){
				if(monkeyLoop[j])
					ptr ++;
				if(ptr == m){
					monkeyLoop[j] = 0;
					ptr = 0;
					k ++;
				}
				j++;
			}
			if (k == n -1){
				break;
			}
			j %= n;
		}
		int result = finalMonkey(monkeyLoop, n);
		printf("%d\n", result);
	}

	return 0;
}

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
   k   k+1   k+2   ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：
k      --> 0
k+1    --> 1
k+2    --> 2
...
...
k-2    --> n-2
k-1    --> n-1

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;   (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1.

由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：

#include <stdio.h>
int main()
{
         int n, m, i, s=0;
         printf ("N M = ");
         scanf("%d%d", &n, &m);
         for (i=2; i<=n; i++)
                 s=(s+m)%i;  
         printf ("The winner is %d\n", s+1);
}

这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。