λ-calculus

λ-calculus：α-conversion，β-reduction以及η-conversion

lambda abstraction：
(λx.t)
lambda abstraction是一个匿名函数定义：它有一个输入x，然后将输入x替换为t。它其实定义的是这样一个匿名函数：传入x，返回t。例如：λr.3.14 * r2为
f（r）= 3.14 * r2的lambda abstraction。

lambda abstraction的函数定义为仅仅"sets up"了一个函数，相当于定义了一个函数，但并不调用。

lambda abstraction同样抽象为：绑定变量x到t。


application：
(ts)
application表示将一个函数t应用于输入s，也就是说，它表示一个函数调用：t(s)，t为调用的函数，s为输入。

lambda abstraction和application的本质区别为：
1、应用到函数上，前者为定义，后者为调用。
2、应用到变量上，前者为定义，后者为使用。

α-conversion：
λx.t


β-reduction：
((λV.E) E′)

下面例子就是一个((λV.E) E′)的形式定义： 表示将一个函数t应用于输入s， t就是这里的(λV.E)，s就是这里的E′，也就是说，它表示一个函数调用：t(s)，t为调用的函数(λV.E)，s为输入E′。

在这里定义了一个匿名函数，对应形式中的(λV.E)，形式中它接收V作为输入，替换为E。在例子中实际上定义了两个函数的重载:一个接收两个参数， 一个无参。

reduce的函数定义：
有两种形式， 第一种形式：
(reduce f coll)
第二种形式：
(reduce f val coll)

f should be a function of 2 arguments. If val is not supplied,
returns the result of applying f to the first 2 items in coll, then
applying f to that result and the 3rd item, etc. If coll contains no
items, f must accept no arguments as well, and reduce returns the
result of calling f with no arguments.  If coll has only 1 item, it
is returned and f is not called.  If val is supplied, returns the
result of applying f to val and the first item in coll, then
applying f to that result and the 2nd item, etc. If coll contains no
items, returns val and f is not called.

=> (reduce (fn
  #_=>           ([]
  #_=>            0)
  #_=>           ([va1 va2]
  #_=>            (+ va1 va2)))
  #_=>         [1 2 3 4 5])
15

可以拆解为：
=> (def fx (fn
  #_=>           ([]
  #_=>            0)
  #_=>           ([va1 va2]
  #_=>            (+ va1 va2))))
#'user/fx
=> (reduce fx [1 2 3 4 5])
15

=> (reduce fx [6])
6

=> (reduce fx [])
0


如果应用的函数定义为无参：
=> (def fx (fn
  #_=>          []
  #_=>          0))
#'user/fx

=> (reduce fx [1 2 3 4 5])

ArityException Wrong number of args (2) passed to: user/fx

=> (reduce fx [6])
6

=> (reduce fx [])
0

如果应用的函数定义为只接收一个参数：
=> (def fx (fn
  #_=>          [va]
  #_=>          va))
#'user/fx

=> (reduce fx [1 2 3 4 5])

ArityException Wrong number of args (2) passed to: user/fx

=> (reduce fx [6])
6

=> (reduce fx [])

ArityException Wrong number of args (0) passed to: user/fx

如果应用的函数定义为只接收两个参数：
=> (def fx (fn
  #_=>          [va1 va2]
  #_=>          (+ va1 va2)))
#'user/fx

=> (reduce fx [6])
6

=> (reduce fx [])

ArityException Wrong number of args (0) passed to: user/fx


如果应用的函数定义为只接收多于两个的参数：
=> (def fx (fn
  #_=>           [va1 va2 va3]
  #_=>           (+ va1 va2 va3)))
#'user/fx

=> (reduce fx [1 2 3 4 5])

ArityException Wrong number of args (2) passed to: user/fx

=> (reduce fx [6])
6

=> (reduce fx [])

ArityException Wrong number of args (0) passed to: user/fx


η-conversion：
λx.(f x)


只需要前两个：α-conversion及β-reduction就可以实现任何情况下的形式推演。

public Function<Input, Boolean> fx() {
    return Input -> (result(Input));
}