数学之美 系列十三 信息指纹及其应用

任何一段信息文字，都可以对应一个不太长的随机数，作为区别它和其它信息的指纹（Fingerprint)。只要算法设计的好，任何两段信息的指纹都很难重复，就如同人类的指纹一样。信息指纹在加密、信息压缩和处理中有着广泛的应用。

我们在图论和网络爬虫一文中提到，为了防止重复下载同一个网页，我们需要在哈希表中纪录已经访问过的网址（URL)。但是在哈希表中以字符串的形式直接存储网址，既费内存空间，又浪费查找时间。现在的网址一般都较长，比如，如果在 Google 或者百度在查找数学之美，对应的网址长度在一百个字符以上。下面是百度的链接

http://www.baidu.com/s?ie=gb2312&bs=%CA%FD%D1%A7%D6%AE%C3%C0&sr=&z=&cl=3&f=8
&wd=%CE%E2%BE%FC+%CA%FD%D1%A7%D6%AE%C3%C0&ct=0

假定网址的平均长度为一百个字符，那么存贮 200 亿个网址本身至少需要 2 TB，即两千 GB 的容量，考虑到哈希表的存储效率一般只有 50%，实际需要的内存在 4 TB以上。即使把这些网址放到了计算机的内存中，由于网址长度不固定，以字符串的形式查找的效率会很低。因此，我们如果能够找到一个函数，将这 200 亿个网址随机地映射到128 二进位即 16 个字节的整数空间，比如将上面那个很长的字符串对应成一个如下的随机数:

893249432984398432980545454543

这样每个网址只需要占用 16 个字节而不是原来的一百个。这就能把存储网址的内存需求量降低到原来的 1/6。这个16 个字节的随机数，就称做该网址的信息指纹（Fingerprint)。可以证明，只要产生随机数的算法足够好，可以保证几乎不可能有两个字符串的指纹相同，就如同不可能有两个人的指纹相同一样。由于指纹是固定的 128 位整数，因此查找的计算量比字符串比较小得多。网络爬虫在下载网页时，它将访问过的网页的网址都变成一个个信息指纹，存到哈希表中，每当遇到一个新网址时，计算机就计算出它的指纹，然后比较该指纹是否已经在哈希表中，来决定是否下载这个网页。这种整数的查找比原来字符串查找,可以快几倍到几十倍。

产生信息指纹的关键算法是伪随机数产生器算法（prng)。最早的 prng 算法是由计算机之父冯诺伊曼提出来的。他的办法非常简单，就是将一个数的平方掐头去尾，取中间的几位数。比如一个四位的二进制数 1001（相当于十进制的9），其平方为 01010001 (十进制的 81）掐头去尾剩下中间的四位 0100。当然这种方法产生的数字并不很随机，也就是说两个不同信息很有可能有同一指纹。现在常用的 MersenneTwister 算法要好得多。

信息指纹的用途远不止网址的消重，信息指纹的的孪生兄弟是密码。信息指纹的一个特征是其不可逆性, 也就是说,
无法根据信息指纹推出原有信息，这种性质， 正是网络加密传输所需要的。比如说，一个网站可以根据用户的Cookie 识别不同用户，这个 cookie 就是信息指纹。但是网站无法根据信息指纹了解用户的身份，这样就可以保护用户的隐私。在互联网上，加密的可靠性，取决于是否很难人为地找到拥有同一指纹的信息， 比如一个黑客是否能随意产生用户的 cookie。从加密的角度讲 MersenneTwister，算法并不好，因为它产生的随机数有相关性。

互联网上加密要用基于加密伪随机数产生器（csprng)。常用的算法有 MD5 或者 SHA1 等标准，它们可以将不定长的信息变成定长的 128 二进位或者 160 二进位随机数。值得一提的事，SHA1 以前被认为是没有漏洞的，现在已经被中国的王小云教授证明存在漏洞。但是大家不必恐慌， 因为这和黑客能真正攻破你的注册信息是还两回事。

信息指纹的虽然历史很悠久，但真正的广泛应用是在有了互联网以后，这几年才渐渐热门起来。