关于统计学中方差公式的问题

  我们现在课本上所提供的方差的计算方式，这个分母是除以N，有一些统计学书中，方差的一个计算公式分母是除以的N-1。

一般计算器上，两个公式都有。为什么会有这样的差异，这两个公式哪个对，哪个错，还是都有道理？

    我们先看一个例子。现在有10000个灯泡，那么它有一个方差，这个方差是一个总体方差。如果我们抽了这个总体中的1000个灯泡去计算方差，并且用它去估计总体的那个方差，如果要除以N的话呢，在理论上可以证明，用除以N的来估计总体，它的估计是偏低的，也就是说我们算出来的样本方差比总体方差要低。要除以N-1的话，就不偏低，所以除以N-1好，这是理论上的问题。

我们用一个数据来估计总体时，要有一个标准，就是说估计得好还是不好。比如说要估计这个总体方差，用谁来来估计。用第一个公式算出来的样本方差是估计，用第二个公式算出来的样本方差也是估计，都是估计，好还是不好，首先就要看你给出一个什么叫好，什么叫不好的标准，如果你认为它偏低或者偏高都不好的话，那么标准就是要估计得无偏，就是说认为无偏估计是好，理论上已经证明了除以N-1就要比除以N要好；当然还可以有别的标准，比如说靠得越近就好，这时除以N就好，这在统计学中称为极大似然估计。因此标准不一样，好坏也就不一样。

教材里选用N，还有一个就是比较自然，顾及到学生的可接受性，因为N个数求算术平均数时除以的是N，再学习计算方差的公式，除以N接受起来比较自然，比较方便。要除以N-1的话，我们还需要给学生解释，或者是介绍更多的内容去理解为什么要减去这个1。老师们可以根据自己学生的能力水平，是否去介绍这种新的公式。而且当这个数很大的话，比如除以10000跟除以9999，得到的那个数据结果，差异很小很小。所以，当N很大时，两个都可以。当然N很小时，除以N-1，还是除以N还是有差异的，但这不是一个什么太本质的问题。
也可以这样来理解：
计算样本方差时先要对均值X作一个估计，占用了一个自由度。也就是说，用剩下的任意n-1个数据与X放在一起就可以计算方差，即只有n-1个自由度。但为了计算简便，还是把n个数据都放进了公式，但并没有增加自由度，所以只能除以n-1。
将几个样本的方差合并为总体方差估计时，比如一个样本的大小是m，方差为S1，另一个样本大小是n，方差为S2，对总体方差的无偏估计是[(m-1)S1+(n-1)S2]/(m+n-2)，合并时的分母是(m-1)+(n-1)=m+n-2而不是m+n-1，这是按自由度的算法。
无偏性可通过样本大小为1的极端情形来考察，这一个数据是对均值的估计，但计算方差时没有自由度了，实际上就不能估计方差，公式退化成0/0型，没有意义才是真的有意义，如果除以1，则方差估计值为0，反而不如0/0能反映真实含义。