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juyo_ch:
讲得挺好理解的,学习了
java 死锁及解决 -
chinaalex:
最后一题答案正确,但是分析有误.按照如下过程,上一行为瓶,下一 ...
zz智力题 -
liaowuxukong:
多谢博主啦,弱弱的了解了一点。
C++/Java 实现多态的方法(C++)
题目:定义Fibonacci数列如下: / 0 n=0
f(n)= 1 n=1
\ f(n-1)+f(n-2) n=2
输入n,用最快的方法求该数列的第n项。
分析:在很多C语言教科书中讲到递归函数的时候,都会用Fibonacci作为例子。因此很多程序员对这道题的递归解法非常熟悉,看到题目就能写出如下的递归求解的代码。
- ///////////////////////////////////////////////////////////////////////
- // Calculate the nth item of Fibonacci Series recursively
- ///////////////////////////////////////////////////////////////////////
- long long Fibonacci_Solution1(unsigned int n)
- {
- int result[2] = {0, 1};
- if(n < 2)
- return result[n];
- return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);
- }
/////////////////////////////////////////////////////////////////////// // Calculate the nth item of Fibonacci Series recursively /////////////////////////////////////////////////////////////////////// long long Fibonacci_Solution1(unsigned int n) { int result[2] = {0, 1}; if(n < 2) return result[n]; return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2); }
但是,教科书上反复用这个题目来讲解递归函数,并不能说明递归解法最适合这道题目。我们以求解f(10)作为例子来分析递归求解的过程。要求得f(10),需要求得f(9)和f(8)。同样,要求得f(9),要先求得f(8)和f(7)……我们用树形结构来表示这种依赖关系
f(10)
/ \
f(9) f(8)
/ \ / \
f(8) f(7) f(6) f(5)
/ \ / \
f(7) f(6) f(6) f(5)
我们不难发现在这棵树中有很多结点会重复的,而且重复的结点数会随着n的增大而急剧增加。这意味这计算量会随着n的增大而急剧增大。事实上,用递归方法计算的时间复杂度是以n的指数的方式递增的。大家可以求Fibonacci的第100项试试,感受一下这样递归会慢到什么程度。在我的机器上,连续运行了一个多小时也没有出来结果。
其实改进的方法并不复杂。上述方法之所以慢是因为重复的计算太多,只要避免重复计算就行了。比如我们可以把已经得到的数列中间项保存起来,如果下次需要计算的时候我们先查找一下,如果前面已经计算过了就不用再次计算了。
更简单的办法是从下往上计算,首先根据f(0)和f(1)算出f(2),在根据f(1)和f(2)算出f(3)……依此类推就可以算出第n项了。很容易理解,这种思路的时间复杂度是O(n)。
- ///////////////////////////////////////////////////////////////////////
- // Calculate the nth item of Fibonacci Series iteratively
- ///////////////////////////////////////////////////////////////////////
- long long Fibonacci_Solution2(unsigned n)
- {
- int result[2] = {0, 1};
- if(n < 2)
- return result[n];
- long long fibNMinusOne = 1;
- long long fibNMinusTwo = 0;
- long long fibN = 0;
- for(unsigned int i = 2; i <= n; ++ i)
- {
- fibN = fibNMinusOne + fibNMinusTwo;
- fibNMinusTwo = fibNMinusOne;
- fibNMinusOne = fibN;
- }
- return fibN;
- }
/////////////////////////////////////////////////////////////////////// // Calculate the nth item of Fibonacci Series iteratively /////////////////////////////////////////////////////////////////////// long long Fibonacci_Solution2(unsigned n) { int result[2] = {0, 1}; if(n < 2) return result[n]; long long fibNMinusOne = 1; long long fibNMinusTwo = 0; long long fibN = 0; for(unsigned int i = 2; i <= n; ++ i) { fibN = fibNMinusOne + fibNMinusTwo; fibNMinusTwo = fibNMinusOne; fibNMinusOne = fibN; } return fibN; }
这还不是最快的方法。下面介绍一种时间复杂度是O(logn)的方法。在介绍这种方法之前,先介绍一个数学公式:
{f(n), f(n-1), f(n-1), f(n-2)} ={1, 1, 1,0}n-1
(注:{f(n+1), f(n), f(n), f(n-1)}表示一个矩阵。在矩阵中第一行第一列是f(n+1),第一行第二列是f(n),第二行第一列是f(n),第二行第二列是f(n-1)。)
有了这个公式,要求得f(n),我们只需要求得矩阵{1, 1, 1,0}的n-1次方,因为矩阵{1, 1, 1,0}的n-1次方的结果的第一行第一列就是f(n)。这个数学公式用数学归纳法不难证明。感兴趣的朋友不妨自己证明一下。
现在的问题转换为求矩阵{1, 1, 1, 0}的乘方。如果简单第从0开始循环,n次方将需要n次运算,并不比前面的方法要快。但我们可以考虑乘方的如下性质:
/ an/2*an/2 n为偶数时
an=
\ a(n-1)/2*a(n-1)/2 n为奇数时
要求得n次方,我们先求得n/2次方,再把n/2的结果平方一下。如果把求n次方的问题看成一个大问题,把求n/2看成一个较小的问题。这种把大问题分解成一个或多个小问题的思路我们称之为分治法。这样求n次方就只需要logn次运算了。
实现这种方式时,首先需要定义一个2×2的矩阵,并且定义好矩阵的乘法以及乘方运算。当这些运算定义好了之后,剩下的事情就变得非常简单。完整的实现代码如下所示。
- #include <cassert>
- ///////////////////////////////////////////////////////////////////////
- // A 2 by 2 matrix
- ///////////////////////////////////////////////////////////////////////
- struct Matrix2By2
- {
- Matrix2By2
- (
- long long m00 = 0,
- long long m01 = 0,
- long long m10 = 0,
- long long m11 = 0
- )
- :m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11)
- {
- }
- long long m_00;
- long long m_01;
- long long m_10;
- long long m_11;
- };
- ///////////////////////////////////////////////////////////////////////
- // Multiply two matrices
- // Input: matrix1 - the first matrix
- // matrix2 - the second matrix
- //Output: the production of two matrices
- ///////////////////////////////////////////////////////////////////////
- Matrix2By2 MatrixMultiply
- (
- const Matrix2By2& matrix1,
- const Matrix2By2& matrix2
- )
- {
- return Matrix2By2(
- matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,
- matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,
- matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,
- matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11);
- }
- ///////////////////////////////////////////////////////////////////////
- // The nth power of matrix
- // 1 1
- // 1 0
- ///////////////////////////////////////////////////////////////////////
- Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n)
- {
- assert(n > 0);
- Matrix2By2 matrix;
- if(n == 1)
- {
- matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);
- }
- else if(n % 2 == 0)
- {
- matrix = MatrixPower(n / 2);
- matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
- }
- else if(n % 2 == 1)
- {
- matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);
- matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
- matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));
- }
- return matrix;
- }
- ///////////////////////////////////////////////////////////////////////
- // Calculate the nth item of Fibonacci Series using devide and conquer
- ///////////////////////////////////////////////////////////////////////
- long long Fibonacci_Solution3(unsigned int n)
- {
- int result[2] = {0, 1};
- if(n < 2)
- return result[n];
- Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);
- return PowerNMinus2.m_00;
- }
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