四元数概念及其应用

学习3D编程，四元数是不得不学的。其概念的引入和定义都比较抽象，今学了，总结归纳如下：
介绍四元数之前，先做如下约定：


1．采用右手坐标系(OpenGL)
2．旋转次序：x->y->z
3.  矩阵是列优先存储
1.什么是四元数？
直接用数学上的定义来解释，因为我很难在现实生活中找到可以描述明白的例子。

i, j, k 为虚数
Q = w + xi + yj + zk
其中w是实数，而x,y,z为复数。
另外一种常见的表达方式是：
Q = [w, v]
其中v=(x,y,z)称为矢量部（虽然称为矢量，但是这个不是三维空间中的矢量，而是四维空间的，想象吧L），w称为标量部。
2.四元数可以做什么？
有了四元数的概念还不行，四元数可以干什么？四元数可以用来描述方向。
先来看下如何求取四元数的长度：
||q|| = Norm(q) = sqrt(w2 + x2 + y2 + z2)
单位长度的四元数有以下属性：
w2 + x2 + y2 + z2 = 1
所以我们使用如下方法来标准化(Normalize)一个四元数：
q = q / ||q|| = q / sqrt(w2 + x2 + y2 + z2)

使用一个单位四元数来描述方向，请记住必须是单位四元数才可以描述方向。
3.四元数的乘法
因为一个单位四元数可以代表一个三维空间中的方向，那么两个四元数相乘得到的结果仍然是一个四元数，这个四元素依旧可以标识一个方向。

给定两个四元数：
Q1 = (w1, x1, y1, z1)
Q2 = (w2, x2, y2, z2)

Q1 * Q2 = (w1.w2 – v1.v2, w1.v2 + w2.v1 + v1 x v2)
注意：.代表向量间的点积，x代表叉积。v1=(x1, y1, z1)  v2=(x2, y2, z2)

优化一下：
w=w1w2 - x1x2 - y1y2 - z1z2
x = w1x2 + x1w2 + y1z2 - z1y2
y = w1y2 + y1w2 + z1x2 - x1z2
z = w1z2 + z1w2 + x1y2 - y1x2

4.四元数的转换
       为什么要转换，因为我们还不能直接使用四元数来进行3D物体的旋转。在OpenGL中和Direct3D中都是通过矩阵来描述3D旋转的。
4.1 四元数到矩阵的转换

使用单位四元数转换到矩阵：
Matrix = [ 1 - 2y2 - 2z2   2xy - 2wz      2xz + 2wy
             2xy + 2wz      1 - 2x2 - 2z2   2yz - 2wx
             2xz - 2wy      2yz + 2wx      1 - 2x2 - 2y2 ]

4.2 四元数到轴角的转换
轴角也是一种表达空间旋转的方式。
如果旋转轴是：(ax, ay, az)
旋转角度是：angle (单位：弧度)
那么四元数与轴角之间的转换关系如下：

angle = 2 * acos(w)
ax = x / scale
ay = y / scale
az = y / scale
其中scale = sqrt(x2 + y2 + z2)
  4.3 轴角到四元数的转换
假设旋转轴是(ax, ay, az)，记得必须是一个单位向量。
旋转角度是theta. （单位：弧度）
那么转换如下：
w = cos(theta / 2 )
x = ax * sin(theta / 2)
y = ay * sin(theta / 2)
z = az * sin(theta / 2 )
  4.4 欧拉角到四元数的转换
如果你的欧拉角为(a, b, c)那么就可以形成三个独立的四元数，如下：

Qx = [ cos(a/2), (sin(a/2), 0, 0)]
Qy = [ cos(b/2), (0, sin(b/2), 0)]
Qz = [ cos(c/2), (0, 0, sin(c/2))]
最终的四元数是Qx * Qy * Qz的乘积的结果。


5.使用四元数来避免Gimbal Lock

基本思路如下：
1）  使用一个四元数来标识一个方向
2）  创建一个临时的四元数来标识当前方向到新方向的变化
3）  右乘临时的四元数和初始四元数，结果是一个合并了两个四元数的新的四元数
4）  将四元数转换成矩阵
6.更深入的学习四元数
SLERP：球状线性插值对于三位模型进行动画处理非常有用，因为这种方式在模型的各种方向之间提供了平滑的转换。