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3D变换中的四元数

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在3D程序中,通常用quaternion来计算3D物体的旋转角度,与Matrix相比,quaternion更加高效,占用的储存空间更小,此外也更便于插值。在数学上,quaternion表示复数w+xi+yj+zk,其中i,j,k都是虚数单位: i*i = j*j = k*k= -1 i*j = k, j*i = -k 可以把quaternion看做一个标量和一个3D向量的组合。实部w表示标量,虚部表示向量标记为V,或三个单独的分量(x,y,z)。所以quaternion可以记为[ w, V]或[ w,(x,y,x)]。对quaternion最大的误解在于认为w表示旋转角度,V表示旋转轴。正确的理解应该是w与旋转角度有关,v与旋转轴有关。例如,要表示以向量N为轴,轴旋α度,相对的quaternion应该是: q = [ cos(α/ 2) , sin(α/ 2) N] =[ cos(α/ 2) , ( sina(α/ 2) Nx, sin(α/ 2)Ny, sin(α/ 2)Nz ) ] 为了计算方便,一般要求N为单位矢量。对quaternion来说使用四个值就能记录旋转,而不是Matrix所需的十六个值。为什么用quaternion来计算旋转很方便呢?先说过quaternion是一个复数,如果你还记得一点点复数的知识,那么应该知道复数乘法(叉乘)的几何意义实际上就是对复数进行旋转。对最简单的复数p= x + yi来说,和另一个复数q = ( conα,sinα)相乘,则表示把p沿逆时针方向旋转α: p’ = pq 当然,x+yi的形式只能表示2D变换,对3D变换来说就需要使用 quaternion了,而且计算也要复杂一点。为了对3D空间中的一个点p(x,y,z)进行旋转,需要先把它转换为quaternion形式p = [0, ( x, y, z)],接下来前面讨论的内容,定义q = cos(α/ 2) , sin(α/ 2) N为旋转quaternion,这里N为单位矢量长度的旋转轴,α为旋转角度。那么旋转之后的点p’则为: p’ = qpq-1
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