堆排序

1,"堆"定义
n个关键字序列Kl，K2，…，Kn称为堆(heap).
当且仅当该序列满足如下性质(简称为堆性质)：
ki≤K2i且ki≤K2i+1 或(2)Ki≥K2i且ki≥K2i+1(1≤i≤ n)
2,若将此序列所存储的向量R[1..n]看做是一棵完全二叉树的存储结构，则堆实质上是满足如下性质的完全二叉树：
树中任一非叶结点的关键字均不大于(或不小于)其左右孩子(若存在)结点的关键字。
（即如果按照线性存储该树，可得到一个不下降序列或不上升序列）
3,最小堆和最大堆：
根结点(亦称为堆顶)的关键字是堆里所有结点关键字中最小者的堆称为最小堆.
根结点(亦称为堆顶)的关键字是堆里所有结点关键字中最大者的堆称为最大堆.

4,堆排序:利用了最大堆(或最小堆)堆顶记录的关键字最大(或最小)这一特征，使得在当前无序区中选取最大(或最小)关键字的记录变得简单。

5,用最大堆排序的基本思想
(1)先将初始文件R[1..n]建成一个最大堆,此堆为初始的无序区
(2)再将关键字最大的记录R[1](即堆顶)和无序区的最后一个记录R[n]交换，由此得到新的无序区R[1..n-1]和有序区R[n]，且满足 R[1..n-1].keys≤R[n].key
(3)由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。然后再次将R[1..n-1]中关键字最大的记录R[1]和该区间的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区R[1..n-2]和有序区R[n- 1..n]，且仍满足关系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys，同样要将R[1..n-2]调整为堆.直到无序区只有一个元素为止。

6,堆排序与直接选择排序的区别:
直接选择排序中，为了从R[1..n]中选出关键字最小的记录，必须进行n-1次比较，然后在 R[2..n]中选出关键字最小的记录，又需要做n-2次比较。事实上，后面的n-2次比较中，有许多比较可能在前面的n-1次比较中已经做过，但由于前一趟排序时未保留这些比较结果，所以后一趟排序时又重复执行了这些比较操作。
堆排序可通过树形结构保存部分比较结果，可减少比较次数。

7,算法分析:
(1)堆排序的时间，主要由建立初始堆和反复重建堆这两部分的时间开销构成.
(2)堆排序的最坏时间复杂度为O(nlog2n)。堆排序的平均性能较接近于最坏性能.
(3)由于建初始堆所需的比较次数较多，所以堆排序不适宜于记录数较少的文件.
(4)堆排序是就地排序，辅助空间为O(1).
(5)它是不稳定的排序方法.

8,和其他排序比较:
(1)快速排序，希尔排序和堆排序的平均时间复杂度都是 O(nlog2n)
(2)堆排序只需要1个额外的存储空间来作为交换用，空间复杂度O(1).
快排需要递归实现，这样就要用到栈，空间复杂度很大。

9,给出一段实例代码:

#include <iostream>
using namespace std;

const int MAXN=100;
int heap[MAXN];//堆数组
int total;//记录堆的大小

void heap_up(int index)//从位置index向上调整更新堆(插入时用)
{
    int f,temp;
    while(index)//没有到根节点
    {
        f=(index-1)/2; //父节点编号
        if( heap[f]>heap[index] )
        {
            temp=heap[f];
            heap[f]=heap[index];
            heap[index]=temp;
            index=f;
        }
        else
            return;
    }
}

void heap_down(int index)//从位置index向下调整更新堆(弹出时用)
{
    int c1,c2,temp;
    while(true)//没有到根节点
    {
        c1=2*index+1;
        if(c1>=total)   return;
        c2=2*index+2;
        //这里两个元素的时候必须加上c2与total的判断
        if(c2<total&&heap[c1]>heap[c2]) c1=c2;//取最小的孩子结点
        if( heap[c1]<heap[index] )
        {
            temp=heap[c1];
            heap[c1]=heap[index];
            heap[index]=temp;
            index=c1;
        }
        else
            return;
    }
}

int heap_pop() //弹出堆顶元素
{
    int ret=heap[0];
    heap[0]=heap[total-1]; //将堆尾元素升至堆顶
    heap[total-1]=ret;
    total--;
    heap_down(0); //每次都要向下调整
    return ret;
}

void heap_insert(int value) //插入堆元素
{
    heap[total]=value;
    heap_up(total);
    total++;
}


int main()
{
    total=0;
    srand(time(0));
    int a[MAXN];
    cout<<"a:"<<endl;
    for(int i=0;i<MAXN;i++)
    {
        a[i]=rand()%1000;
        cout<<a[i]<<" ";
        if( (i+1)%10==0 ) cout<<endl;
        heap_insert(a[i]);
    }
    cout<<endl;

    cout<<"弹出栈顶:"<<endl;
    for(int i=0;i<MAXN;i++)
    {
        cout<<heap_pop()<<" ";
        if( (i+1)%10==0 ) cout<<endl;
    }
    cout<<endl;

    return 0;
}