分形绘图简介（一） 什么是分形绘图

圣诞长假，把玩了一下分形绘图。我的初衷是想找点简单好玩漂亮的东西，以后用来哄骗小女儿学习数学和计算机。于是我找到了Kojo，一个用Scala来模拟Logo语言的小玩具，让我想起了小时候玩分形绘图的零星记忆。然后在网上东找西寻，终于让我找到了Apophysis 7X这个好东东。结果一发不可收拾，耗进去好几天。下面是这几天的一些学习心得。

什么是分形绘图

跑去网上某百科查“分形”，如果不是搞数学的话，基本上会不知所云。什么“分数维”，“混沌吸引子”之类的概念只能把你的小脑瓜变成大脑瓜。好在我们这些搞业余艺术的人不用去扯这些技术细节，其实只要知道，分形绘图就是“递归的几何”，就够了。如果你还想了解一些细节，可以继续阅读本节。如果你只想尽快开始作画，完全可以跳过本文。

下面用Kojo和一个经典的分形雪花图（Von Koch曲线）来说明什么是分形图案。

首先去 http://www.kogics.net/kojo-download 下载一个Kojo并安装。顺带一提，如果想哄小孩子学编程，这应该是个好东东，现在已经很难找到做得这么细致的Logo语言实现了，虽然是用Scala仿的。

Ok，现在运行Kojo，把下面代码复制到Script Editor中：

def lines(count: Int, length: Int) {
    if (count == 1) forward(length)  //前进length步
    else {
        lines(count-1, length)
        left(60)   //左转60度
        lines(count-1, length)
        right(120) //右转120度
        lines(count-1, length)
        left(60)   //左转60度
        lines(count-1, length)
    }
}

clear()  //清屏
setPenThickness(1)  //画笔宽度设为1
setPenColor(color(128, 128, 128))  //设置画笔颜色
setAnimationDelay(300)  //海龟每个动作的延迟（让我们这些小朋友可以看得清）

visible()  //显示小海龟
right(90)  //右转90度
//修改下面这行
lines(2, 5)

invisible()  //隐藏小海龟

这段代码是什么意思呢？我们看到Turtle Canvas上有一只小海龟，这段程序就是用来控制这只小海龟移动进行作画的（嗯，很幼稚，小孩子的玩具嘛）

其中的lines是个递归函数，如果count是1的时候，就画一段长度为length的直线。如果大于1，则分别递归调用自己4次，分别转3次弯。

现在来看count=2时的结果：


这个图案由4条直线加3个转弯组成。

count=3时 ( 把line(2, 5)这行改成line(3, 5) ）


可以看出，这个图案是4个count=2时的图案再加3次转弯组成。

同理，count=4时，得到这个图案：


如此类推，通过对简单的图形进行递归，就能构造出非常复杂的图案来。这种图形的局部其实就是整体的一个复制，可能再加上一些变换，例如在这个简单的例子中，每个局部都稍微比整体简单（count少1）。用术语来说，叫做“自相似”。而这种带有“自相似”性质的图案，就是所谓的分形图案了。

最后，我们来完成这个例子：
把原来程序中的line(2, 5)改为

    lines(5, 5)
    right(120)
    lines(5, 5)
    right(120)
    lines(5, 5)

也就是，转两个弯，把3段lines(5,5)图像串起来，运行就得到了传说中雪花



附完整脚本：

def lines(count: Int, length: Int) {
    if (count == 1) forward(length)
    else {
        lines(count-1, length)
        left(60)
        lines(count-1, length)
        right(120)
        lines(count-1, length)
        left(60)
        lines(count-1, length)
    }
}

clear()
visible()
setPenThickness(1)  //设定画笔宽度
setPenColor(color(128, 128, 128))  //设定画笔颜色
setAnimationDelay(300)  //设定动画延迟（让你看到小海龟在跑）
right(90)
//修改此处
    lines(5, 5)
    right(120)
    lines(5, 5)
    right(120)
    lines(5, 5)
invisible()  //隐藏海龟

最后简单看一下另一段脚本 (Kojo自带示例)：

def tree(distance: Double) {
    if (distance > 4) {
        setPenThickness(distance/7)
        setPenColor(color(distance.toInt, math.abs(255-distance*3).toInt, 125))
        forward(distance)
        right(25)
        tree(distance*0.8-2)
        left(45)
        tree(distance-10)
        right(20)
        back(distance)
    }
}

clear()
invisible()
setAnimationDelay(10)
penUp()
back(200)
penDown()
tree(90)

运行结果是：



而这棵分形树是由多个



组成的。

当然，本文说的都是一些哄小孩用的简单例子，但也基本上说明了什么是分形图。下一篇开始就开始动真格了。

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