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λ演算

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λ演算 （lambda calculus ）是一套用于研究函数 定义、函数应用和递归 的形式系统 。它由阿隆佐·邱奇 和他的学生斯蒂芬·科尔·克莱尼 在20世纪 30年代 引入。邱奇运用λ演算在1936年 给出判定性问题 （Entscheidungsproblem）的一个否定的答案。这种演算可以用来清晰地定义什么是一个可计算函数 。关于两个lambda演算表达式是否等价的命题无法通过一个“通用的算法”来解决，这是不可判定性能够证明的头一个问题，甚至还在停机问题 之先。Lambda演算对函数式编程语言 有巨大的影响，比如Lisp语言 、ML语言 和Haskell语言 。

Lambda演算可以被称为最小的通用程序设计语言。它包括一条变换规则（变量替换）和一条函数定义方式，Lambda演算之通用在于，任何一个可计算函数都能用这种形式来表达和求值。因而，它是等价于图灵机 的。尽管如此，Lambda演算强调的是变换规则的运用，而非实现它们的具体机器。可以认为这是一种更接近软件而非硬件的方式。

本文讨论的是邱奇的“无类型lambda演算”，此后，已经研究出来了一些有类型lambda演算 。

目录

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• 1 历史
• 2 非形式化的描述
• 3 形式化定义
• 4 归约
  • 4.1 α-变换
  • 4.2 β-归约
  • 4.3 η-变换
• 5 lambda演算中的算术
• 6 逻辑与谓词
• 7 有序对
• 8 递归
• 9 可计算函数和lambda演算
• 10 参见
• 11 外部链接

[编辑 ] 历史

最开始，邱奇试图创制一套完整的形式系统作为数学的基础，当他发现这个系统易受罗素悖论 的影响时，就把lambda演算单独分离出来，用于研究可计算性 ，最终导致了他对判定性问题 的否定回答。

[编辑 ] 非形式化的描述

在lambda演算中，每个表达式都代表一个只有单独参数的函数，这个函数的参数本身也是一个只有单一参数的函数，同时，函数的值是又一个只有单一 参数的函数。函数是通过lambda表达式匿名地定义的，这个表达式说明了此函数将对其参数进行什么操作。例如，“加2”函数f(x)= x + 2可以用lambda演算表示为λx.x + 2 (或者λy.y + 2，参数的取名无关紧要)而f(3)的值可以写作(λx.x + 2) 3。函数的应用（application）是左结合 的：f x y =(f x) y。考虑这么一个函数：它把一个函数作为参数，这个函数将被作用在3上：λf.f 3。如果把这个（用函数作参数的）函数作用于我们先前的“加2”函数上：(λf.f 3)(λx.x+2)，则明显地，下述三个表达式：

(λf.f 3)(λx.x+2)与 (λx.x + 2) 3与3 + 2

是等价的。有两个参数的函数可以通过lambda演算这么表达：一个单一参数的函数的返回值又是一个单一参数函数的参数（参见Currying ）。例如，函数f(x, y) = x - y可以写作λx.λy.x - y。下述三个表达式：

(λx.λy.x - y) 7 2与 (λy.7 - y) 2与7 - 2

也是等价的。然而这种lambda表达式之间的等价性无法找到一个通用的函数来判定。

并非所有的lambda表达式都可以规约至上述那样的确定值，考虑

(λx.x x)(λx.x x)

或

(λx.x x x)(λx.x x x)

然后试图把第一个函数作用在它的参数上。 (λx.x x)被称为ω 组合子 ，((λx.x x)(λx.x x))被称为Ω，而((λx.x x x) (λx.x x x))被称为Ω₂ ，以此类推。

若仅形式化函数作用的概念而不允许lambda表达式，就得到了组合子逻辑 。

[编辑 ] 形式化定义

形式化地，我们从一个标识符（identifier）的可数无穷 集合 开始，比如{a, b, c, ..., x, y, z, x₁ , x₂ , ...}，则所有的lambda表达式可以通过下述以BNF 范式表达的上下文无关文法 描述：

1. <expr> ::= <identifier>
2. <expr> ::=(λ<identifier> .<expr>)
3. <expr> ::=(<expr> <expr>)

头两条规则用来生成函数，而第三条描述了函数是如何作用在参数上的。通常，lambda抽象（规则2）和函数作用（规则3）中的括号在不会产生歧义 的情况下可以省略。如下假定保证了不会产生歧义：（1）函数的作用是左结合的，和（2）lambda操作符被绑定到它后面的整个表达式。例如，表达式 (λx.x x)(λy.y) 可以简写成λ(x.x x) λy.y 。

类似λx.(x y)这样的lambda表达式并未定义一个函数，因为变量y的出现是自由的 ，即它并没有被绑定到表达式中的任何一个λ上。变量出现次数的绑定是通过下述规则（基于lambda表达式的结构归纳 地）定义的：

1. 在表达式V中，V是变量，则这个表达式里变量V只有一次自由出现。
2. 在表达式λV .E中（V是变量，E是另一个表达式），变量自由出现的次数是E中变量自由出现的次数，减去E中V自由出现的次数。因而，E中那些V被称为绑定在λ上。
3. 在表达式 (E E')中，变量自由出现的次数是E和E'中变量自由出现次数之和。

在lambda表达式的集合上定义了一个等价关系 (在此用==标注)，“两个表达式其实表示的是同一个函数”这样的直觉性判断即由此表述，这种等价关系是通过所谓的“alpha-变换规则”和“beta-归约规则”。

[编辑 ] 归约

[编辑 ] α-变换

Alpha-变换规则表达的是，被绑定变量的名称是不重要的。比如说λx.x和λy.y是同一个函数。尽管如此，这条规则并非像它看起来这么简单，关于被绑定的变量能否由另一个替换有一系列的限制。

Alpha-变换规则陈述的是，若V与W均为变量，E是一个lambda表达式，同时E[V:=W]是指把表达式E中的所有的V的自由出现都替换为W，那么在W不是 E中的一个自由出现，且如果W替换了V，W不会被E中的λ绑定的情况下，有

λV.E == λW.E[V:=W]

这条规则告诉我们，例如λx.(λx.x) x这样的表达式和λy.(λx.x) y是一样的。

[编辑 ] β-归约

Beta-归约规则表达的是函数作用的概念。它陈述了若所有的E'的自由出现在E [V:=E']中仍然是自由的情况下，有

((λV.E) E') == E [V:=E']

成立。

==关系被定义为满足上述两条规则的最小等价关系（即在这个等价关系中减去任何一个映射，它将不再是一个等价关系）。

对上述等价关系的一个更具操作性的定义可以这样获得：只允许从左至右来应用规则。不允许任何beta归约的lambda表达式被称为Beta范式 。 并非所有的lambda表达式都存在与之等价的范式，若存在，则对于相同的形式参数命名而言是唯一的。此外，有一个算法用户计算范式，不断地把最左边的形 式参数替换为实际参数，直到无法再作任何可能的规约为止。这个算法当且仅当lambda表达式存在一个范式时才会停止。Church-Rosser定理 说明了，当且仅当两个表达式等价时，它们会在形式参数换名后得到同一个范式。

[编辑 ] η-变换

前两条规则之后，还可以加入第三条规则，eta-变换，来形成一个新的等价关系。Eta-变换表达的是外延性 的概念，在这里外延性指的是，两个函数对于所有的参数得到的结果都一致，当且仅当它们是同一个函数。Eta-变换可以令λx .f x和f相互转换，只要x不是f中的自由出现。下面说明了为何这条规则和外延性是等价的：

若f与g外延地等价，即，f a == g a对所有的lambda表达式a成立，则当取a为在f中不是自由出现的变量x时，我们有f x == g x，因此λx .f x == λx .g x，由eta-变换f == g。所以只要eta-变换是有效的，会得到外延性也是有效的。

相反地，若外延性是有效的，则由beta-归约，对所有的y有(λx .f x) y == f y，可得λx .f x == f，即eta-变换也是有效的。

[编辑 ] lambda演算中的算术

在lambda演算中有许多方式都可以定义自然数 ，但最常见的还是邱奇数 ，下面是它们的定义：

0 = λf.λx.x

1 = λf.λx.f x

2 = λf.λx.f (f x)

3 = λf.λx.f (f (f x))以此类推。直观地说，lambda演算中的数字n就是一个把函数f作为参数并以f的n次幂为返回值的函数。换句话说，邱奇整数是一个高阶函数 -- 以单一参数函数f为参数，返回另一个单一参数的函数。

(注意在邱奇原来的lambda演算中，lambda表达式的形式参数在函数体中至少出现一次，这使得我们无法像上面那样定义0)在邱奇整数定义的基础上，我们可以定义一个后继函数，它以n为参数，返回n + 1：

SUCC = λn.λf.λx.f(n f x)

加法是这样定义的：

PLUS = λm.λn.λf.λx.m f (n f x)

PLUS可以被看作以两个自然数为参数的函数，它返回的也是一个自然数。你可以试试验证

PLUS 2 3 与 5

是否等价。乘法可以这样定义：

MULT = λm.λn.m(PLUS n)0,

即m乘以n等于在零的基础上n次加m。另一种方式是

MULT = λm.λn.λf.m(n f)

正整数n的前驱元（predecessesor）PRED n = n - 1要复杂一些：

PRED = λn.λf.λx.n(λg.λh.h(g f))(λu.x)(λu.u)

或者

PRED = λn.n(λg.λk.(g 1)(λu.PLUS(g k) 1) k)(λl.0) 0

注意(g 1)(λu.PLUS(g k) 1) k表示的是，当g(1)是零时，表达式的值是k，否则是g(k)+ 1。

[编辑 ] 逻辑与谓词

习惯上，下述两个定义（称为邱奇布尔值）被用作TRUE 和FALSE 这样的布尔值：

TRUE := λx y.x

FALSE := λx y.y

(注意FALSE 等价于前面定义邱奇数零)

接着，通过这两个λ-项，我们可以定义一些逻辑运算：

AND := λp q.p q FALSE

OR := λp q.p TRUE q

NOT := λp.p FALSE TRUE

IFTHENELSE := λp x y.p x y

我们现在可以计算一些逻辑函数，比如：

AND TRUE FALSE

≡(λp q.p q FALSE) TRUE FALSE →_β TRUE FALSE FALSE

≡(λx y.x) FALSE FALSE →_β FALSE

我们见到AND TRUE FALSE 等价于FALSE 。

“谓词”是指返回布尔值的函数。最基本的一个谓词是ISZERO ，当且仅当其参数为零时返回真，否则返回假：

ISZERO := λn.n(λx.FALSE) TRUE

运用谓词与上述TRUE 和FALSE 的定义，使得"if-then-else"这类语句很容易用lambda演算写出。

[编辑 ] 有序对

有序对（2-元组）数据类型可以用TRUE 、FALSE 和IF 来定义。

CONS := λx y.λp.IF p x y

CAR := λx.x TRUE

CDR := λx.x FALSE

链表数据类型可以定义为，要么是为空列表保留的值（e.g.FALSE ），要么是CONS 一个元素和一个更小的列表。

[编辑 ] 递归

递归 是使用函数自身的函数定义；在表面上，lambda演算不允许这样。但是这种印象是误解。考虑个例子，阶乘 函数f(n) 递归的定义为

f(n):= if n = 0 then 1 else n·f(n-1) 。

在lambda演算中，你不能定义包含自身的函数。要避免这样，你可以开始于定义一个函数，这里叫g ，它接受一个函数f 作为参数并返回接受n 作为参数的另一个函数：

g := λf n.(if n = 0 then 1 else n·f(n-1)) 。

函数g 返回要么常量1 ，要么函数f 对n-1 的n次应用。使用ISZERO 谓词，和上面描述的布尔和代数定义，函数g 可以用lambda演算来定义。

但是，g 自身仍然不是递归的；为了使用g 来建立递归函数，作为参数传递给g 的f 函数必须有特殊的性质。也就是说，作为参数传递的f 函数必须展开为调用带有一个参数的函数g -- 并且这个参数必须再次f 函数!

换句话说，f 必须展开为g(f) 。这个到g 的调用将接着展开为上面的阶乘函数并计算下至另一层递归。在这个展开中函数f 将再次出现，并将被再次展开为g(f) 并继续递归。这种函数，这里的f = g(f) ，叫做g 的不动点，并且它可以在lambda演算中使用叫做悖论算子 或不动点算子 来实现，它被表示为Y -- Y组合子 ：

Y = λg.(λx.g(x x))(λx.g(x x))

在lambda演算中，Y g 是g 的不动点，因为它展开为g(Y g) 。现在，要完成我们对阶乘函数的递归调用，我们可以简单的调用 g(Y g)n ，这里的n是我们要计算它的阶乘的数。

比如假定n = 5，它展开为：

(λn.(if n = 0 then 1 else n·((Y g)(n-1)))) 5

if 5 = 0 then 1 else 5·(g(Y g，5-1))

5·(g(Y g)4)

5·(λn.(if n = 0 then 1 else n·((Y g)(n-1))) 4)

5·(if 4 = 0 then 1 else 4·(g(Y g，4-1)))

5·(4·(g(Y g)3))

5·(4·(λn.(if n = 0 then 1 else n·((Y g)(n-1))) 3))

5·(4·(if 3 = 0 then 1 else 3·(g(Y g，3-1))))

5·(4·(3·(g(Y g)2)))

...

等等，递归的求值算法的结构。所有递归定义的函数都可以看作某个其他适当的函数的不动点，因此，使用Y 所有递归定义的函数都可以表达为lambda表达式。特别是，我们现在可以明晰的递归定义自然数的减法、乘法和比较谓词。

[编辑 ] 可计算函数和lambda演算

自然数 的函数F: N → N 是可计算函数 ，当且仅当 存在着一个lambda表达式f ，使得对于N 中的每对x, y都有F( x) = y当且仅当f x == y ，这里的x 和y 分别是对应于x和y的邱奇数 。这是定义可计算性的多种方式之一；关于其他方式很它们的等价者的讨论请参见邱奇-图灵论题 。

[编辑 ] 参见

• 邱奇-图灵论题
• 递归函数
• 可计算函数
• 柯里化

[编辑 ] 外部链接

• L.Allison, Some executable λ-calculus examples
• Georg P.Loczewski, The Lambda Calculus and A++
• To Dissect a Mockingbird: A Graphical Notation for the Lambda Calculus with Animated Reduction
• 人物介绍