【100题】 第四十七题 序列的最长递增、递减序列

一，题目

求一个数组的最长递减子序列

比如{9，4，3，2，5，4，3，2}的最长递减子序列为{9，5，4，3，2}

求一个数组的最长递增子序列

比如{1，-1，2，-3，4，-5，6，-7}的最长递减子序列为{1，2，4，3，6}

二，递增序列长度求解方法

解法一：

时间复杂度为 o（n^2）

遍历数组序列，每遍历一个数组元素，则求序列到当前位置 最长的递增序列数，用temp[i]存储。

注意，当前的最长递增子序列受已经遍历的最长递增子序列影响，从序列头 再遍历到当前位置的前一个位置，挨个比较 a[j]与a[i](当前元素)大小，遇到小于a[i]且判断需要更新

ｔｅｍｐ［］数组。

　　　　　由于这里仅仅是求，最长递增序列的长度，所以仅仅用ｔｅｍｐ［］存储长度大小。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 源码：

#include <iostream>
using namespace std;

int LIS(int array[],int n)
{
	int temp[n];//存放当前遍历位置最长序列 
	for(int i=0;i<n;++i)
	{
		temp[i]=1;   //初始化 默认长度 
		for(int j=0;j<i;++j) //找出前面最长的序列 
		{
			// 当前值 array[i] 跟已经遍历的值比较，
		    //大于已经遍历的值且已知递增序列+1 大于当前值则 更新当前最长递增序列值 
			if(array[i]>array[j]  && temp[j]+1 > temp[i] )
			{
				temp[i] = temp[j] + 1;
			}
			
		}
	}
	
	int max=temp[0];
	for(int k=0;k<n;++k)//找出整个数组中最长的子序列 
	{
		if(max<temp[k])
			max=temp[k];
	}
	
	return max;
	
}

int main()
{
	int arr[]={1,-1,2,-3,4,-5,6,-7};
	int result=LIS(arr,8);
	cout<<result<<endl;
	
}

解法二：时间复杂度任然为　Ｏ（ｎ＾２）

　　　　　　为了减少比较次数

　　　　　　采用空间换时间的策略。新增一个数组ＭａｘＶ［］，ｍａｘ［ｉ］表示所有长度为ｉ的递增子序列中最大值之间的最小值

　　　　　　ｎＭａｘｌａｘ记录当前最长子序列

　　　　　　每次遍历一个元素时候，从最长子序列开始遍历，一直到１　比较当前元素值ａｒｒ［ｉ］　跟ＭａｘＶ［ｊ］的值，从而更新ｔｅｍｐ［］最长子序列和ｎＭａｘＬａｘ和ＭａｘＶ［］的值

　　源码：

#include <iostream>
using namespace std;

int LIS(int array[],int n)
{
	int temp[n];//存放当前遍历位置最长序列 
	int  MaxV[n]; //最长子序列中最大值之间的最小值
	MaxV[1]=array[0];//初始序列长度为1的子序列 中最大值的最小值
    MaxV[0]=-9999;//边界值
	 
	 for(int i=0;i<n;++i)
	{
		temp[i]=1;   //初始化 默认长度 
	} 
	 int  nMaxLis=1;
	 int  j; 
	for(int i=0;i<n;++i)
	{
		for(j=nMaxLis;j>=0;--j) //找出前面最长的序列 
		{
			if(array[i]>MaxV[j])//当前值大于长度为j的子序列中最大值之间的最小值 
			{
				temp[i] = j + 1;
				break; 
			}
			
		}
		
		if(temp[i]>nMaxLis)//在最长子序列时停止 （这时只有一个最长的） 
		{
			cout<<"nMaxLIs"<<nMaxLis<<endl; 
			
			nMaxLis=temp[i];
			MaxV[temp[i]]=array[i]; 
		} 
		else if(MaxV[j] <array[i] && array[i]<MaxV[j+1])
		{
			MaxV[j+1]=array[i]; 
		} 
	}
	
	
	return nMaxLis;
	
}

int main()
{
	int arr[]={1,-1,2,-3,4,-5,6,-7};
	int result=LIS(arr,8);
	cout<<result<<endl;
	
}

　　解法三：

　　　　　　将内循环查询部分换成二分搜索，则时间复杂度降低为　Ｏ（ｎｌｏｇＮ）

三，递减序列　最长子序列求解方法

用index数组，从大到小排序。然后依次遍历元素，查找元素在index数组中的位置pos ，根据位置来判断当前最长的子序列。

#include<iostream>
#include<cassert>
#include<stack>
using namespace std ;
int BiSearch(int *A,int nTarget,int nLen);

void FindLongestSequence(int *A,int nLen)
{
	int *index=new int[nLen];//存放子序列 
	int *LDS=new int[nLen];
	
	index[0]=A[0];
	LDS[0]=1;
	int indexLen=1; //最长递增子序列 长度 
	
	for (int i=1;i<nLen;i++)
	{
		//这里是关键，在已经加入的 序列中查找当前序列的插入位置
		 
		int pos=BiSearch(index,A[i],indexLen);
		
		index[pos]=A[i];
		LDS[i]=pos+1;//记录当前最长序列
		 
		if(pos>=indexLen)//插入的当前位置大于最长序列 
			indexLen++;
	}
	
	int ResultLen=indexLen;
	for (int i=nLen;i>=0;i--)//记录最长递减子序列 
	{
		if(LDS[i]==ResultLen)
		{	
			index[ResultLen-1]=A[i];
			ResultLen--;
		}		
	}

	for (int i=0;i<indexLen;i++)
	{
		cout<<index[i]<<" ";
	}
	delete []index;

}
int BiSearch(int *A,int nTarget,int nLen)//二分搜索 
{
	assert(A!=NULL&&nLen>0);
	int start=0;
	int end=nLen-1;
	while (start<=end)
	{
		int mid=(start+end)/2;
		if(nTarget>A[mid])
			end=mid-1;
		else if(nTarget<A[mid])
			start=mid+1;
		else
			return mid;
	}
	return start;
}
int main()
{
	int A[]={9,4,3,2,5,4,3,2,77,76};
	int nLen=sizeof(A)/sizeof(int);
	FindLongestSequence(A,nLen);
	return 1;
}