分治法与动态规划小结

最近才捡起的算法设计与分析.分析不准确的地方谅解,请各位看官指正.

 

1. 分治法与动态规划主要共同点:
二者都要求原问题具有最优子结构性质,都是将原问题分而治之,分解成若干个规模较小(小到很容易解决的程序)的子问题.然后将子问题的解合并,形成原问题的解.

 

2. 分治法与动态规划实现方法:
① 分治法通常利用递归求解.
② 动态规划通常利用迭代法自底向上求解,但也能用具有记忆功能的递归法自顶向下求解.

 

3. 分治法与动态规划主要区别:
① 分治法将分解后的子问题看成相互独立的.
② 动态规划将分解后的子问题理解为相互间有联系,有重叠部分.

 

例如: 在求解斐波那契数列过程中,求解fibonacci(5)时,得求解fibonacci(4)和fibonacci(3).其中,求解fibonacci(4)时,需要求解fibonacci(3).
在分治法中,求解完fibonacci(4)后还得重新求解fibonacci(3),即使求解fibonacci(4)子问题的时候已经求解过,也就是说,求解了二次子问题fibonacci(3).
动态规划为了避免类似子问题fibonacci(3)的重复求解,将已经求解过的子问题的解保存下来,在需要的时候将解值取出来,省去子问题解的重复求解过程.

 

 

4. 分治法与动态规划适用条件:
① 原问题具有最优子结构性质的前提下,分解出的子问题都绝对相互独立.
② 原问题具有最优子结构性质的前提下,分解出的子问题并不相互独立,求解一个子问题可能要用到已经求解过的子问题的解,子问题间具有重叠性,即适合具有重叠子问题性质的原问题.

 

5. 分治法与动态规划复杂度分析:
① 分治法因为对子问题进行了多次求解,所以效率比动态规划低一点.(时间复杂度相对高)
② 动态规划求解需要将子问题的解保存下来,所以会比分治法多用一些空间.(空间复杂度相对高)

其实,算法世界里,要么用时间换空间,要么用空间换时间.