算法分析之N皇后问题

    因为这学期的算法分析课快要完了，也差不多进入复习阶段了，所以在这就把学习到的一些比较经典的算法拿出来晒晒，可能不是最好的，但怎么说也是为解决问题提供了一个思路。关于算法，有很多类型的问题，我在这里就拣一个复习一个了，呵呵。
    今天要写的算法是源于八皇后问题，但在这里为了说明普遍性，直接介绍N皇后问题，与八皇后问题思路一样。这是ACM中一道典型的回溯题，当然其它方法也能对其求解，但毫无疑问回溯得到的解是最准确无误的。

一、问题描述：
    在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。n后问题等价于再n×n的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不妨在同一行或同一列或同一斜线上。

输入：
    给定棋盘的大小n (n ≤ 13)
输出：
    输出有多少种放置方法。

二、解题思路：
    要解决N皇后问题，其实就是要解决好怎么放置这n个皇后，每一个皇后与前面的所有皇后不能在同一行、同一列、同一对角线，在这里我们可以以行优先，就是说皇后的行号按顺序递增，只考虑第i个皇后放置在第i行的哪一列，所以在放置第i个皇后的时候，可以从第1列判断起，如果可以放置在第1个位置，则跳到下一行放置下一个皇后。如果不能，则跳到下一列...直到最后一列，如果最后一列也不能放置，则说明此时放置方法出错，则回到上一个皇后向之前放置的下一列重新放置。此即是回溯法的精髓所在。当第n个皇后放置成功后，即得到一个可行解，此时再回到上一个皇后重新放置寻找下一个可行解...如此后，即可找出一个n皇后问题的所有可行解。

三、复杂度分析：
    关于N皇后问题的复杂度问题可以说是众说纷纭了，自己也改变过好几次，刚开始以为棋盘是n行n列，所以理所当然应该是n^2,后来发现在每列选择可否放置的比较上又做了一次循环，所以应该是n^3，但想了很久，发现判断可否放置的时候不是每次都循环到n,它是根据皇后i的取值而变化的，所以复杂度应该是1/3 n^3左右，即是小于n^3的。

四、测试代码：
    在这里我写了两个实现方法，一个是递归回溯，一个是迭代回溯，思路都一样，只是形式不同罢了。

递归回溯：

#include<stdio.h>
#define N 15

int n; //皇后个数
int sum = 0; //可行解个数
int x[N]; //皇后放置的列数

/*
 *判断函数，判断第k个皇后是否可以放在某一个位置
 *如果与之前的皇后出现在同一列或同一对角线则放置失败，返回0，否则返回1
*/
int place(int k)
{
    int i;
    for(i=1;i<k;i++)
      if(abs(k-i)==abs(x[k]-x[i]) || x[k] == x[i])
        return 0;
    return 1;
}

/*
 *求解可行解函数，当第t个皇后可以放置在t行的某一位置时，继续放置下一皇后，直到
 *所有皇后放置结束，如果某一皇后不能放置，则移向下一列放置，如果这一列都不能放
 *置或所有皇后放置结束，返回上一皇后重新放置，最终返回所有可行解个数。
*/
int queen(int t)
{
    if(t>n && n>0) //当放置的皇后超过n时，可行解个数加1，此时n必须大于0
      sum++;
    else
      for(int i=1;i<=n;i++)
      {
          x[t] = i; //标明第t个皇后放在第i列
          if(place(t)) //如果可以放在某一位置，则继续放下一皇后
            queen(t+1); 
      }
    return sum;
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&n);
    t = queen(1);
    if(n == 0) //如果n=0，则可行解个数为0，这种情况一定不要忽略
      t = 0;
    printf("%d",t);
    return 0;
}

迭代回溯：

#include<stdio.h>
#define N 15

int n;
int sum = 0;
int x[N];

int place(int k)
{
    int i;
    for(i=1;i<k;i++)
      if(abs(k-i)==abs(x[k]-x[i]) || x[k] == x[i])
        return 0;
    return 1;
}

int queen()
{
      x[1] = 0;
      int t=1;
      while(t>0)
      {
          x[t]+=1;
          while(x[t]<=n && !place(t))
              x[t]++;
          if(x[t]<=n)
            if(t == n)
              sum++;
            else
              x[++t] = 0;
          else
            t--;
      }
      return sum;
}

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&n);
    t = queen();
    printf("%d",t);
    return 0;
}

    迭代回溯的注释因为和递归回溯差不多，所以就不再附注了。在这里我们可以看到，递归回溯非常简单，结构很清晰，但它有一个潜在的问题存在，即当随着变量n的增大，递归法的复杂度也将成几何级增长，也有可能会出现重复的情况，所以我们在解决问题时，如果能用迭代法解决，最好还是不要用递归法，除非你已经对这个递归了如指掌了。
    通过这个N皇后问题，我想大概已经把回溯法讲得很清楚了吧，回溯法得到的解展开就是一个树，很多方法都是可以通过回溯法来解决的，效率很高，但如果基数过大的话，回溯法就显得不是那么适用了，这也是回溯法的弱势吧。比如说这个N皇后问题，好像当n>60的时候，回溯法就不能完全地解决问题了，这时可以考虑用概率算法来解决，它可以解决很大的基数，只不过结果不是很精确而已。所以我们在面对一个问题时，具体是使用什么算法还是要结合实际情况来考虑的，目的都是更方便、更准确地解决问题。