连续子数组的最大和

题目：输入一个整形数组，数组里有正数也有负数。数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组,求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n)。

例如输入的数组{1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5}，和最大的子数组为{3, 10, -4, 7, 2}，因此输出为该子数组的和18。

如果不考虑时间复杂度，可以枚举出数组的所有子数组并求出它们的和。长度为n的数组，共有n(n+1)/2个子数组。计算所有子数组的和，最快也需要O(n^2)的时间。本题还有更快的解法。

解法一：分析规律

当加上一个正数时，和会增加；当加上一个负数时，和会减少。如果当前得到的和是个负数，那么这个和在接下来的累加中应该抛弃，不然的话这个负数将会减少接下来的和。用变量nCurSum存储当前的累加和，用nGreatestSum存储历史最大的累加和。

boolg_InvalidInput=false;
 
intFindGreatestSumOfSubArray(int*pData,intnLength)
{
    if((pData==NULL)||(nLength<=0))
    {
        g_InvalidInput=true;
        return0;
    }
 
    g_InvalidInput=false;
 
    intnCurSum=0;
    intnGreatestSum=0x80000000;
    // 0x80000000是最小的int型(负)数，将nGreatestSum初始化为
    // 最小的int值，是为了应对输入全负的情况
 
    for(inti=0;i<nLength;++i)
    {
        if(nCurSum<=0)
            nCurSum=pData[i];
        else
            nCurSum+=pData[i];
 
        if(nCurSum>nGreatestSum)
            nGreatestSum=nCurSum;
    }
 
    returnnGreatestSum;
}

 

 解法二：动态规划思想

用f(i)表示以第i个数字结尾的子数组的最大和，那么需要求出max[f(i)]。可用如下递归公式求f(i)：

这个递归的求解可以优化为循环，具体与上面的代码一致。公式中的f(i)相当于变量nCurSum，而max[f(i)]就是nGreatestSum。

关于动态规划的入门可以参考：

【动态规划】笔记（一）—— 简介

【动态规划】笔记（二）—— 装配线调度

动态规划算法解最长公共子序列LCS问题

《剑指Offer》读书笔记