`
jackchen0227
  • 浏览: 147218 次
  • 性别: Icon_minigender_1
  • 来自: 帝都
社区版块
存档分类
最新评论

[zz]catalan数的分析与应用

    博客分类:
  • ACM
阅读更多

性质

  令h(0)=1,h(1)=1,

catalan数满足递归式:h(n)= h(1)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1) (其中n>=2),这是n阶递推关系;  

化简为1阶递推关系: 如h(n)=(4n-2)/(n+1)*h(n-1)(n>1) h(0)=1    

该递推关系的解为:h(n)= C(2n,n)/(n+1)=P(2n,n)/(n+1)!=(2n)!/(n!*(n+1)1!) (n=1,2,3,...)   

卡 塔兰数例的前几项为(sequence A 0 0 0 1 0 8 in OEIS) [注: n = 0, 1, 2, 3, … n]  1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …

应用

   我总结了一下,最典型的三类应用:(实质上却都一样,无非是递归等式的应用,就看你能不能分解问题写出递归式了)  

1.括号化问题。    

        矩阵链乘: P=a0×a1×a2×a3×……×an,共有(n+1)项,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?(h(n)种)  

       类似题目

            有N个节点的二叉树共有多少种情形?  

2.出栈次序问题 。   

        一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?  

       类似题目

        a、有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈) 

        b、

       *

     * *

     * * *

     * * * *

     * * * * *   

        形如这样的直角三角形网格,从左上角开始,只能向右走和向下走,问总共有多少种走法?  

对问题的转化与思考

        n 个元素进栈和出栈,总共要经历 n 次进栈和 n 次出栈。这就相当于对这 2n 步操作进行排列。  

        一个模型: 一个 n*n 的正方形网格,从左上角顶点到右下角顶点,只能向右走和向下走。问共有多少种走法。如果将向右走对应上述问题的进栈,向下走对应上述问题的出栈,那么,可 以视此模型为对上述问题的具体描述。而解决此问题,只要在总共从左上角到右下角的2n步中,选定向右走的步数,即共有C(n 2n)中走法。 

 但是存在一个问题,如果走法越过了对角线,那么对应到上述问题是出栈数比入栈数多,这是不符合实际的。

  对以上模型进行处理,对角线将以上正方形网格分成两部分,只留下包含对角线在内的下半部分,那么就不会出现越过对角线的问题。而这问题就是开始提出的问题。    

        c、

        n个1和n个0组成一2n位的2进制数,要求从左到右扫描,1的累计数不小于0的累计数,试求满足这条件的数有多少?  

解答

设P2n为这样所得的数的个数。在2n位上填入n个1的方案数为 C(n 2n)  不填1的其余n位自动填以数0。从C(n 2n)中减去不符合要求的方案数即为所求。  不合要求的数指的是从左而右扫描,出现0的累计数超过1的累计数的数。  不合要求的数的特征是从左而右扫描时,必然在某一奇数2m+1位上首先出现m+1个0的累计数,和m个1的累计数。  此 后的2(n-m)-1位上有n-m个1,n-m-1个0。如若把后面这部分2(n-m)-1位,0与1交换,使之成为n-m个0,n-m-1个1,结果得 1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数,即一个不合要求的数对应于一个由n-1个0和n+1个1组成的一个排列。  反过来,任何一个 由n+1个0,n-1个1组成的2n位数,由于0的个数多2个,2n是偶数,故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面的部分,令0 和1互换,使之成为由n个0和n个1组成的2n位数。即n+1个0 和n-1个1组成的2n位数,必对应于一个不合要求的数。  用上述方法建立了由n+1个0和n-1个1组成的2n位数,与由n个0和n个1组成的2n位数中从左向右扫描出现0的累计数超过1的累计数的数一一对应。  例如 10100101  是由4个0和4个1组成的8位2进制数。但从左而右扫描在第5位(显示为红色)出现0的累计数3超过1的累计数2,它对应于由3个1,5个0组成的10100010。  反过来 10100010  对应于 10100101  因而不合要求的2n位数与n+1个0,n-1个1组成的排列一一对应,

故有  P2n = C(n 2n)— C(n+1 2n)  这个结果是一个“卡塔兰数”Catalan 

 3.将多边行划分为三角形问题。  

 将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?  

  类似题目

     a、一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果他  从不穿越(但可以碰到)从家到办公室的对角线,那么有多少条可能的道路? 

    b、在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

分享到:
评论

相关推荐

    Catalan数知识介绍

    Catalan数,作为组合数学中的一个重要序列,其定义与性质在多种数学问题中都有广泛的应用。Catalan数的序列是:1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, …(OEIS中的A000108)。此序列由递推公式或组合公式给出...

    « ACM模板收集Let the Balloon Rise » Catalan数

    ### Catalan数概述与应用 #### 一、Catalan数定义及公式推导 Catalan数是一类在组合数学中频繁出现的数列,它不仅有着简洁的数学定义,还在许多不同的问题中发挥着重要作用。Catalan数的一般形式可以表示为: \[ ...

    完全二叉树的种类(动态规划\备忘录方法\Catalan数\C++实现)

    Total(n)的递归公式如下,这是Catalan数: Total(n) = for i=1 to n-1 sum(Total(i) * Total(n-i)) if n>=2 Total(n)=1 if n=1 考虑到计算Total(n)时,所有小于规模n的Total(n-1),…,Total(1)都可能被计算多次, ...

    一般性 Catalan 數的組合意義及其應用1

    在文章的第二部分,作者探讨了Fuss-Catalan数的基本性质,包括它们与Catalan数之间的相似性。通过一系列等价转换,证明了Fuss-Catalan数的各种定义是等价的,并展示了一个引理,这有助于后续的证明和分析。 第三...

    卡特兰数(Catalan)

    卡特兰数(Catalan Number)是一种在数学中广泛应用的组合数,特别是在组合几何、图论、语言学和计算理论等领域。这个数列的名字来源于比利时数学家欧仁·查尔斯·卡特兰(Eugène Charles Catalan)。卡特兰数具有...

    明安图与Catalan数 (2002年)

    此外,Larcombe还探讨了明安图的成果与现代数学理论之间的联系,为理解和应用Catalan数提供了新的思路。 ### 结论 明安图作为一位杰出的中国数学家,在18世纪就已经独立发现了Catalan数,并将其应用于解决实际问题...

    与Catalan数有关的组合问题研究 (2008年)

    首先给出了Catalan数的4个经典组合模型:凸多边形的三角剖分问题、简单有序根树的计数问题、路径问题、乘法结合方式问题,给出了Catalan数的4种推导方法:迭代递推方法、生成函数方法、组合求差方法和一一映射方法,并...

    catalan number introduction

    ### 催化纳数简介与应用 #### 一、引言 催化纳数(Catalan numbers)是一类在组合数学中极为重要的数列,在多种不同的问题中出现,并且具有相同的解。这些数列通常被表示为\( C_n \),其中\( n \)是非负整数。本文...

    卡特兰数(Catalan)应用:输出所有N对合法括号序列和输出所有已知进栈序列的合法出栈序列

    Catalan应用 输出所有N对合法括号序列 输出所有已知进栈序列的合法出栈序列 http://blog.csdn.net/ssuchange/article/details/17394609

    ACM 算法自制模板.docx

    Catalan 数是一种重要的数学概念,广泛应用于组合数学、计算机科学和信息学等领域。 Catalan 数的定义 Catalan 数是一种特殊的整数序列,定义为: f(n) = f(0) \* f(1) + f(1) \* f(n-2) + ... + f(n-1) \* f(0) ...

    C#,卡特兰数(Catalan number,明安图数)的算法源代码

    卡特兰数(英语:Catalan number),又称卡塔兰数、明安图数,是组合数学中一种常出现于各种计数问题中的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰的名字来命名。1730年左右被蒙古族数学家明安图使用于对三角函数幂...

    Catalan数列的详细介绍(总结版)

    在实际应用中,Catalan 数列的计算可以使用递推关系式或组合数公式,但是这类方法通常都需要大量的计算和存储空间。为了解决这个问题,可以使用 Dynamic Programming、Memoization 等技术来优化计算过程。 Catalan ...

    自然语言处理与应用(06) 句法分析1

    同时,开塔兰数(Catalan number)的概念被引入,用于量化英语中的结构歧义,特别是在介词短语的组合中。 总的来说,句法分析是自然语言处理中的核心任务,它为语义分析、情感分析、问答系统等后续任务提供了基础。...

    深入理解卡特兰数及其应用

    Catalan number,卡特兰数又称卡塔兰数,是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。 令h(0)=1,h(1)=1,catalan数满足递推式:h(n)= h(0)*h(n-1)+h...

    组合数学- 卡特兰数列(Catalan).rar

    在“组合数学- 卡特兰数列(Catalan).pdf”这个文档中,很可能会深入探讨这些应用以及卡特兰数列的其他性质,如生成函数、递推关系的证明、闭式形式以及与各种组合对象的联系。通过学习这个文档,读者将能够理解...

    吉林大学软件学院组合数学课程报告

    组合数学领域 Catalan数的应用研究 吉林大学软件学院 1.卡特兰数简介 卡特兰数(Catalan Number)是组合数学中应用广泛的重要计数函数,以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰(1814–1894)的名字来命名,其前几项为...

    简单分析汉诺塔问题

    物块移动问题更清楚解释,更详细的解释,科学移动。初学者简单易看懂的代码!!!

    高精度整数问题

    通过分析这些文件,我们可以学习到如何在实际编程中处理大整数并有效地计算组合数和Catalan数。 总之,理解和掌握高精度整数计算对于解决复杂的计算问题至关重要。这不仅包括如何设计和实现高效的数据结构和算法,...

    Cantalan数有关的组合问题

    ### 与Catalan数有关的组合问题 #### 1. Catalan数的四个经典组合模型 ##### 1.1 凸多边形的三角剖分问题 Catalan数(记为\(C_n\))在组合数学中具有重要的地位,尤其是在凸多边形的三角剖分问题中体现得淋漓尽致...

    离散数学在信息竞赛中的应用

    Catalan数是一类在许多数学问题中出现的数,包括括号序列、二叉树、组合几何等问题。对于给定的操作序列,如将数字压入栈或弹出栈,计算所有可能的输出序列数量,可以转化为求解Catalan数。长度为 n 的好括号序列的...

Global site tag (gtag.js) - Google Analytics