【串和序列处理 8】最长平台问题

1、经典最长平台算法

 

已知一个已经从小到大排序的数组，这个数组中的一个平台(Plateau)就是连续的一串值相同的元素 ，并且这一串元素不能再延伸。例如，在 1,2,2,3,3,3,4,5,5,6中[1]、[2,2]、[3,3,3]、[4]、[5,5]、[6]都是平台。是编写一个程序，接受一个数组，把这个数组中最长的平台找出 来。在上面的例子中3,3,3就是该数组中最长的平台。
【说明】
这个程序十分简单，但是要编写好却不容易，因此在编写程序时应该考虑下面 几点：
(1) 使用的变量越少越好；
(2) 把数组的元素每一个都只查一次就得到结果；
(3) 程序语句也要越少越好。
这个问题曾经困扰过David Gries 这位知名的计算机科学家。本题与解答取自David Gries 编写的有关程序设计的专著。

#include  <stdio.h>
int longest_plateau()
{
     int  x[] = { 3, 4, 4, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 10};
     int  n   = sizeof(x)/sizeof(int);
     int  length = 1;         /* plateau length >= 1.     */
     int  i;

     for (i = 1; i < n; i++)
          if (x[i] == x[i-length])
               length++;
     return length;
}

这是一个时间复杂度为O(n) 的经典算法，其代码十分简练。

 

另外，我自己也写了一个时间复杂度为O(n)的算法，原理就是找出所有平台分界位置，后一个位置减前一个位置(平台长度)的最大值。

int longest_plateau(){
	int  keys[] = {3, 4, 4, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 10};
	int  size = sizeof(keys)/sizeof(int);

	int maxLength=0; //记录最大的平台长度
	int maxLowBound=-1; //记录最大平台的首偏移
	int maxHighBound=-1; //记录最大平台的尾偏移

	int index=1; // 两个分界点位置进行一次比较,index=0或1
	int bound[2]; //记录每一次比较长度的首，尾偏移

	bound[0]=1;//第一个平台的首偏移在数组第0个位置
	for(int i=1;i<size;i++){

		if(keys[i]!=keys[i-1]){
			bound[index++]=i; //当前平台的尾偏移(即下一个平台的首偏移)
		}

		if(index==2){ //比较平台长度
			if(bound[1]-bound[0]>maxLength){
				maxLength=bound[1]-bound[0];
				maxLowBound=bound[0];
				maxHighBound=bound[1];
			}
			bound[0]=bound[1]; //当前平台的尾偏移成为下一个平台的首偏移
			index=1; //准备记录下一个平台的尾偏移到Bound[1]上
		}
	}

//	printf("longest plat's length is %d\n",maxLength);
//	printf("longest plat is ");
//	for(int j=maxLowBound;j<maxHighBound;j++){
//		printf("%d",keys[j]);
//	}

	return maxLength;
}

 

2、改进的最长平台算法

 

上面O(n)的时间复杂度级别已经很不错了，但是如果n值特别大，那么仍然要比较n次才可以出结果，我们能不能降低比较次数呢？ 显然，这个问题是可以优化的。

 

我们再来回顾一下David Gries的经典算法(代码1的line: 9)，不管当前最长平台的长度为多少，每一次比较都是i++。难道每一次比较都是必须的吗？ 比如下面这个平台串：

                                              pArr[]:    1  1  1  2  2  2  2   2  3  3    4   4    5    5

                                              index:     0  1  2  3  4  5  6  7  8   9  10  11  12  13

分析： 当pArr[2]==pArr[0]的时候，最长平台长度已经增到了3。此时继续比较pArr[3]==pArr[0]发现不相等。那么说明pArr[3]已经开始了一个新的平台。依据经典算法，我们还要继续比较pArr[4]==pArr[1]，pArr[5]==pArr[2]。显然，这两个比较是不必要的，因为pArr[3]开始了新的平台，位置3之前的所有数据都不会和3之后的所有数据相等了。

 

根据上面的分析，我们很容易的想到可以跳跃一定的次数进行比较，跳跃多少呢？最简单的想法就是跳跃一个当前的longest(最长平台长度)。因为如果当前pArr[index]==pArr[index+longest]的话，说明当前平台长度比上一次的longest还要长，如果pArr[index]！=pArr[index+longest]的话，那么目前的平台长度绝对不会超过longest，也就没有必要再去比较小于longest的平台长度是多少了。

 

问题并没有想象的那么简单，跳跃longest长度之后，为了下一次还能够跳跃longest长度，有的时候是需要回溯一段距离的。 我们来看看下面的详细算法分析。

 

还是上面的例子，我们来一步一步的研究这个改进的算法。

(1)  首先计算第一个平台 "1  1  1" 得到了当前最长平台长度为longest=3，当前串位置index=3。

(2)  这时我们比较pArr[index]==pArr[index+longest](即比较pArr[3]<->pArr[6])。显然相等，那么longest++(即longest=4)。然后继续循环比较pArr[index]==pArr[index+longest]，直到不相等为止。此时index=8, longest=5.

(3)  这一步非常重要，当前的index=8已近开始了一个新的平台, 而当前的longest=5。继续比较pArr[index]==pArr[index+longest](即比较pArr[8]<->pArr[13])，发现不相等。此时我们能不能继续从pArr[13]开始向后跳跃longest=5的长度呢。显然不对，因为pArr[13]并不是平台5的开始位置，pArr[12]=5。如果跳跃longest长度，后面的计算结果将全部错误。 此时，我们必须从13开始回头遍历，直到找到平台的其实位置pArr[12]，然后从12位置开始跳跃longest=5的长度才可以。

 

//跳跃最长平台算法
int jump_longest_plateau(int * pArr, int size){
	int longest=1; //最长平台长度
	int index=1;  //平台串位置索引
	//计算第一个平台的长度
	for(;index<size&&pArr[index]==pArr[index-1];index++,count++)
		++longest;
	//跳跃longest比较平台长度
	while((index+longest)<size){
        // 如果跳跃之后相等，则循环继续增大最长平台的长度
		if(pArr[index]==pArr[index+longest]){
			while(pArr[index]==pArr[index+longest]){
				++longest;
			}
			index+=longest;
		}else{ //如果跳跃之后不相等，则回溯寻找当前平台的起始位置
			index+=longest;
			for(;pArr[index]==pArr[index-1];index--);
		}
	}
	return longest;
}

 

算法分析：时间复杂度仍然是O(n)级别 (注意：不要看到双重循环就认为是O(n^2)级别)。随然有的时候需要回溯到平台的起始位置，但改进之后的算法仍然降低了比较次数。 因为跳跃longest后最多需要回溯longest-1次(此时共比较longest次)。也就是最差情况下位置index每次跳跃之后都会回溯到index+1的位置上，因此最差情况下改进算法会蜕化成经典算法的比较次数n。

 

我们列举出一个最差情况的平台串：  1  1  2  2  3  3  4  4  5  5  6  6  7  7 ....

 

平均而言，1000个长度的随机初始化平台串，改进算法的比较次数在149次左右。而经典算法必须比较1000次。