约瑟夫环（时间复杂度为n）

一、        题目描述：

约瑟夫环是一个数学的应用问题：已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。

二、        算法出现问题：

要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm），当n，m非常大（例如上百万，上千万）的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规。

三、        思路：

n个人（编号0~(n-1）），从0开始报数，报到m-1的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。我们知道第一个人（编号一定是（m-1）%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）：

k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2

并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

...

...

k-3 --> n-3

k-2 --> n-2

序列1：0,1,2,3 … n-2,n-1

序列2：0,1,2,3 … k-2,k，…，n-2,n-1

序列3：k,k+1,k+2,k+3，…，n-2,n-1,1,2,3，…，k-2,

序列4：0,1,2,3 …，5,6,7,8，…，n-3,n-2

变换后就完完全全成为了（n-1）个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解，假如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去刚好就是n个人情况的解。公式为：

∵ k=m%n;

∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n

∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n

得到 x‘=(x+m)%n

如何知道（n-1）个人报数的问题的解？只要知道（n-2）个人的解就行了。（n-2）个人的解呢？当然是先求（n-3）的情况 。

 这显然就是一个倒推问题！得到下面写递推公式：

令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n].

递推公式：

f[1]=0;

f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1）

下一步要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1。

四、        代码：

 

/*
约瑟夫环递推公式：令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]  
递推公式  f[1]=0;  f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
*/
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
int main(void)
{
	int n, m,i, f[20]={0};
	scanf("%d %d",&n,&m);
    for(i=2;i<=n;i++)
	{
		f[i]=(f[i-1]+m)%i;
		printf("%d个人报数，报到%d的出列，最后的胜者下标为%d\n", i,m,f[i]);
	}
    printf("The winner is %d\n", f[n]+1);
	system("pause");
}

 

优化一下：

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
int main(void)
{
    int n, m,i, s=0;
	scanf("%d %d",&n,&m);
    for(i=2;i<=n;i++)
	{
		s=(s+m)%i;
	}
    printf("The winner is %d\n", s+1);
	system("pause");
}