关于序列的几个算法

1.求最小子序列的和

就是对于连续的序列，找出连续序列中和最小的

例如:int a[LEN] = {4,-1,5,-2,-1,2,6,-2,1,-3};

最小的子序列就是：-2,1,-3

对于下面的最大子序列就是：4,-1,5,-2,-1,2,6。

 

 

/**
	*最小子序列和
	*n
	*/
int subMinSum(int a[], int length){
	int thismin = 0, min = INT_MAX;
	for(int i=0; i<length; i++){
		thismin += a[i];
		if(thismin < min){
			min = thismin;
		}else if(thismin > 0){
			thismin = 0;
		}
	}
	return min;
}

 

 2.最大子序列的和，其思想和求最小是一样的

 

/**
	*最大子序列和
	*
	*/
int subMaxSum(int *a, int length){
	int thismax = a[0], max=INT_MIN;//注：此处修正了thismax = 0,因为全负数的时候返回0，这里初值设置为a[0]那么会返回最大负数
	for(int i=0; i<length; i++){
		thismax += a[i];
		if(thismax > max){
			max = thismax;
		}else if(thismax < 0){
			thismax = 0;
		}
	}
	return max;
}

 

 针对上面的两种算法，效率是比较高的，但是正确性不容易看出来，需要自己仔细的揣摩和证明，但是优点也很明显，就是对数据只需要一次的扫描，顺序读入，这对于大量数据来说是很有利的，只要全部读入数据就可以得出结果，这个在算法分析一书中叫做“联机算法(on-line algorithm)”，意思就是上面描述的，线性时间完成的联机算法基本上算法完美算法。

 

3.求最大子序列,并记录子序列位置

这里我们肯定很容易记录下最终的位置，就是不容易确定序列的起始位置，主要是由于该算法的特性，最后想了好久才想到用：减最大的值的方法，当等于0的时候就找到起始位置了，从而确定序列范围

 

#include <iostream>
using namespace std;

int maxsub(const int* a, int length, int* loc){
	//maxsum记录最大的值，thissum记录当前的值
	int maxsum=0, thissum=0, i=0;
	if(length <= 0) return 0;
	for(i=0; i<length; i++){
		thissum += a[i];
		if(maxsum < thissum){
			maxsum = thissum;
			loc[1] = i;
			//这里有一个思想就是，为负数的子序列不可能成为最优子序列的前缀，
		}else if(thissum < 0){
			thissum = 0;
		}
	}
	thissum = maxsum;
	for(i=loc[1]; i>=0; i--){
		thissum -= a[i];
		if(thissum == 0){
			 loc[0] = i;
			 break;
		}
	}
	return maxsum;
}

int main(){
	int a[] = {2, -3, 7, -4,-2,-2,6,-2};
	int loc[2]={0};
	cout<<maxsub(a, 8, loc)<<endl;
	cout<<"from:"<<loc[0]<<"---to:"<<loc[1]<<endl;
	return 0;	
}

 

 

 

4.最小正子序列和

这个是在一博客中看到的：http://blog.csdn.net/qq675927952/article/details/6790726

然后我有一个疑问就是，究竟什么是最小正子序列和？这个在网上找了也没有个好的答案（http://tengtime.com/a/gaoxingnenWEBkaifa/20120406/3217.html），如果哪位仁兄知道，不胜感激！！

对于下面求出的sum我也没搞的太清楚是为什么？然后又循环什么的？

 

struct Node  
{  
    int sum;  
    int xiabiao;  
      
};  
int cmp(const Node& t1,const Node& t2)  
{  
    return t1.sum < t2.sum;
} 

/**
	*最小正子序列和
	*n*logn
	*/
int positiveSubMinSum(int *data, int len){
	Node* temp = new Node[len];  
  temp[0].sum = data[0];  
  temp[0].xiabiao = 0;  
  for(int i=1;i<len;i++)  
  {  
    temp[i].sum = temp[i-1].sum+data[i];  
    temp[i].xiabiao = i;  
  }  
  //对temp.sum[]进行从小到大排序，sum[]中只有相邻的两个数才有可能 得到 最小正子序列和  
  sort(temp,temp+len,cmp);  
  int sum = INT_MAX;  
  for(int i=0;i<len-1;i++)  
  {  
    if(temp[i].xiabiao < temp[i+1].xiabiao)  
    {  
         if(temp[i+1].sum - temp[i].sum > 0 && temp[i+1].sum - temp[i].sum < sum)  
         sum = temp[i+1].sum - temp[i].sum;  
    }  
  }  
  delete temp;  
  temp=0;  
  return sum;  
}

  5.最大子序列的乘积

对网上的一些算法进行了下比较，发现这个算法还可以，比较简洁：http://blog.csdn.net/ztj111/article/details/1909339

对该算法的说明：

 

这个问题其实可以简化成这样：数组中找一个子序列，使得它的乘积最大；同时找一个

子序列，使得它的乘积最小（负数的情况）。虽然我们只要一个最大积，但由于负数的

存在，我们同时找这两个乘积做起来反而方便。

 

我们让maxCurrent表示当前最大乘积的candidate，minCurrent反之，表示当前最小乘积

的candidate。这里我用candidate这个词是因为只是可能成为新一轮的最大/最小乘积，

而maxProduct则记录到目前为止所有最大乘积candidates的最大值。

 

由于空集的乘积定义为1，在搜索数组前，maxCurrent,maxProduct,minCurrent都赋为1。

假设在任何时刻你已经有了maxCurrent和minCurrent这两个最大/最小乘积的candidates，

新读入数组的元素x(i)后，新的最大乘积candidate只可能是maxCurrent或者minCurrent

与x(i)的乘积中的较大者，如果x(i)<0导致maxCurrent<minCurrent，需要交换这两个

candidates的值。

 

当任何时候maxCurrent<1，由于1（空集）是比maxCurrent更好的candidate，所以更新

maxCurrent为1，类似的可以更新minCurrent。任何时候maxCurrent如果比最好的

maxProduct大，更新maxProduct。

 

 

void swap(int& a, int& b){
	 int temp = a;
	 a = b;
	 b = temp;
}

/**
	*最大子序列乘积(同时也求出了最小的子序列乘积)
	*在找最大的值得时候，必须记录最小值，因为有负数存在，最小的数可能变成最大的数
	*/
int mutiSubMax(int *a, int length){
	  int i;
    int maxProduct = 1;
    int minProduct = 1;
    int maxCurrent = 1;
    int minCurrent = 1;

    for( i=0; i<length ;i++)
    {
        maxCurrent *= a[i];
        minCurrent *= a[i];
        if(maxCurrent > maxProduct) 
            maxProduct = maxCurrent;
        if(minCurrent > maxProduct)
            maxProduct = minCurrent;
        if(maxCurrent < minProduct)
            minProduct = maxCurrent;
        if(minCurrent < minProduct)
            minProduct = minCurrent;
        //注意交换
        if(minCurrent > maxCurrent)
            swap(maxCurrent,minCurrent);
        //这个必须在最后（防止为0的时候）
        if(maxCurrent<1)
            maxCurrent = 1;
        //if(minCurrent>1)//这里不需要，因为通过交换即可，只需要一个
        //  minCurrent =1;
    }
    return maxProduct;
}

 

6.最长递增子序列
参考：

http://blog.csdn.net/hhygcy/article/details/3950158

http://www.programfan.com/blog/article.asp?id=13086

a，问题描述

设L=<a₁,a₂,…,a_n>是n个不同的实数的序列，L的递增子序列是这样一个子序列Lin=<a_K1,a_k2,…,a_km>，其中k₁<k₂<…<k_m且a_K1<a_k2<…<a_km。求最大的m值

b，问题分析

最长递增子序列可以看成一个动态规划的问题，关于动态规划可以参见:

http://hi.baidu.com/hacklzt/blog/item/81e6b8fc795d251f09244de7.html

http://www.cnblogs.com/brokencode/archive/2011/06/26/2090702.html

其实质就是：将问题细化，逐步求解

当然实际的过程相对复杂些，就拿该题来说

如：子序列{1, 9, 3, 8, 11, 4, 5, 6, 4, 19, 7, 1, 7 }这样一个字符串的的最长递增子序列就是{1,3,4,5,6,7}或者{1,3,4,5,6,19}。

首先，该问题可以抽象为：子序列为L(1..n),  A(1...i)是一个从1到i的优化的子结构,也就是最长递增子序列,求A(n)。

其次，根据上面的抽象，求的就是A(n), 那么问题就转化为求A(j)与A(1...i)(j>i)的关系（状态转移方程）。

最后，根据动态规划的概念，找的就是上面的这样一个关系，如何将A(j)与A(1...i)联系起来？从而将问题细化，L(j) = max {L(i), i<j && A(i)<A(j) } + 1; 

也就是说L(j)等于之前所有的L(i)中最大的的L(i)加一。这样的L(i)需要满足的条件就是A(i)<A(j).这个推断还是比较容易理解的.就是选择j之前所有的满足小于当前数组的最大值.

然后就是将上面的关系式转换为代码，这个就很简单了。

过程如下：

 

/**
	*最长递增子序列
	*
	*/
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

//利用动态规划法O(n^2)
void longestIncreaseSub(int* a, int length, int* sub){
	int n = length;
	//利用一个辅助数列，记录子问题的值
	int *t = new int[n];//需要将t所有都初始化1,t记录子序列（子问题）的最长递增子序列长度
	int *p = new int[n];
	memset(p,0,sizeof(int));
	//初始的最大子序列长度默认为1，即自身组成一个最长递增子序列
	t[0]=1;
	for(int i=1; i<n; i++){
		t[i]=1;
		for(int j=0; j<i; j++){
			//这里面就是动态优化的状态转移方程
			if(a[j]<a[i] && t[j]>t[i]-1){
				//里面存的是(0到i)的子序列中最长递增子序列的长度
				t[i]=t[j]+1;
				//符合要求的子序列位置(就是上一个子序列中的最后一个值的位置)
				p[i]=j;
			}
		}
	}
	int m=0,k=0;
	for (int i=1;i<=n;i++)  
  {
     if (m<t[i])
     {//m存t中最大值(就是要找的最长递增子序列)，i是其所在的索引
       m = t[i];  
       k = i;  
     }
  }
  while(m>=0){
  	sub[m-1] = a[k];
  	m--;
  	//p[k]中存着子序列中下一个值的下标位置
  	k = p[k];
  }
    
	for(int d=0; d<n; d++) cout<<t[d]<<" ";
	cout<<endl;
	for(int d=0; d<n; d++) cout<<p[d]<<" ";
	delete[] t;
	delete[] p;
	p = NULL;
	t = NULL;
}

int main(){
	int a[] = { 1, 9, 3, 8, 11, 4, 5, 6, 4, 19, 7, 1, 7 };  
	int length = sizeof(a)/sizeof(int);
	int* sub = new int[length];
	memset(sub,0,sizeof(int));//初始化sub
	
	longestIncreaseSub(a,length, sub);
	
	cout<<endl;
	for(int k=0; k<length; k++) cout<<sub[k]<<" ";
	delete[] sub;
	sub = NULL;
}

 

 

 

 

7.上面的1,2,4,5的代码全部

 

/**
	*2.17
	*求最小子序列和，最小正子序列和，最大子序列乘积
	*
	*/	
#include <iostream>
#include <algorithm>  
using namespace std;
#define INT_MIN -32768
#define INT_MAX 32767
//在里面有使用#define和const定义常量的比较，推荐使用const
//#define LEN 10
const int LEN = 10;

/**
	*最大子序列和
	*
	*/
int subMaxSum(int *a, int length){
	int thismax = 0, max=INT_MIN;
	for(int i=0; i<length; i++){
		thismax += a[i];
		if(thismax > max){
			max = thismax;
		}else if(thismax < 0){
			thismax = 0;
		}
	}
	return max;
}

/**
	*最小子序列和
	*n
	*/
int subMinSum(int a[], int length){
	int thismin = 0, min = INT_MAX;
	for(int i=0; i<length; i++){
		thismin += a[i];
		if(thismin < min){
			min = thismin;
		}else if(thismin > 0){
			thismin = 0;
		}
	}
	return min;
}

struct Node  
{  
    int sum;  
    int xiabiao;  
      
};  
int cmp(const Node& t1,const Node& t2)  
{  
    return t1.sum < t2.sum;
} 

/**
	*最小正子序列和
	*n*logn
	*/
int positiveSubMinSum(int *data, int len){
	Node* temp = new Node[len];  
  temp[0].sum = data[0];  
  temp[0].xiabiao = 0;  
  for(int i=1;i<len;i++)  
  {  
    temp[i].sum = temp[i-1].sum+data[i];  
    temp[i].xiabiao = i;  
  }  
  //对temp.sum[]进行从小到大排序，sum[]中只有相邻的两个数才有可能 得到 最小正子序列和  
  sort(temp,temp+len,cmp);  
  int sum = INT_MAX;  
  for(int i=0;i<len-1;i++)  
  {  
    if(temp[i].xiabiao < temp[i+1].xiabiao)  
    {  
         if(temp[i+1].sum - temp[i].sum > 0 && temp[i+1].sum - temp[i].sum < sum)  
         sum = temp[i+1].sum - temp[i].sum;  
    }  
  }  
  delete temp;  
  temp=0;  
  return sum;  
}

void swap(int& a, int& b){
	 int temp = a;
	 a = b;
	 b = temp;
}

/**
	*最大子序列乘积(同时也求出了最小的子序列乘积)
	*在找最大的值得时候，必须记录最小值，因为有负数存在，最小的数可能变成最大的数
	*/
int mutiSubMax(int *a, int length){
	  int i;
    int maxProduct = 1;
    int minProduct = 1;
    int maxCurrent = 1;
    int minCurrent = 1;

    for( i=0; i<length ;i++)
    {
        maxCurrent *= a[i];
        minCurrent *= a[i];
        if(maxCurrent > maxProduct) 
            maxProduct = maxCurrent;
        if(minCurrent > maxProduct)
            maxProduct = minCurrent;
        if(maxCurrent < minProduct)
            minProduct = maxCurrent;
        if(minCurrent < minProduct)
            minProduct = minCurrent;
        //注意交换
        if(minCurrent > maxCurrent)
            swap(maxCurrent,minCurrent);
        //这个必须在最后（防止为0的时候）
        if(maxCurrent<1)
            maxCurrent = 1;
        //if(minCurrent>1)//这里不需要，因为通过交换即可，只需要一个
        //  minCurrent =1;
    }
    return maxProduct;
}

int main(){
	int a[LEN] = {4,-1,5,-2,-1,2,6,-2,1,-3};
	cout<<"列表："<<endl;
	for(int i=0; i<10; i++){
		cout<<a[i]<<" ";
	}
	cout<<endl;
	cout<<"最大子序列和:"<<subMaxSum(a, LEN)<<endl;
	cout<<"最小子序列和:"<<subMinSum(a, LEN)<<endl;
	cout<<"最小正子序列和:"<<positiveSubMinSum(a, LEN)<<endl;
	cout<<"最大子序列乘积:"<<mutiSubMax(a, LEN)<<endl;
	return 0;
}