uva-10304 Optimal Binary Search Tree（区间dp）

本文出自 http://blog.csdn.net/shuangde800

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题目链接：uva-10304

题意

给一个序列即可 S = (e1,e2,...,en),且e1<e2<..<en.要把这些序列构成一个二叉搜索树。
二叉搜索树是具有递归性质的，且若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； 若它
的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值。
因为在实际应用中，被访问频率越高的元素，就应该越接近根节点，这样才能更加节省查找时间。
每个元素有一个访问频率f(ei)，当元素位于深度为k的地方，那么花费cost(ei) = k.
所有节点的花费和访问频率乘积之和为：
sum = f(e1)*cost(e1) + f(e2)*cost(e2) + ... + f(en)*cost(en)
我们叫sum值最小的二叉搜索树为最优二叉搜索树。
按顺序给出集合序列S，和每个元素的频率f(ei)，求sum的最小值

思路

因为他题目给的序列是从小到大的，那么对于这个序列的任意一个ei,设ei为根节点，
我们可以知道在序列中ei左边的所有数会构成ei的左子树，ei的右边的所有数会构成
ei的右子树。
那么我们就可以枚举根节点，然后选择值最小的一种方案。
说到这里，再结合题目的数据范围，那么很容易可以想到就是区间dp了！


设f(i, j)表示序列区间(i, j)的数构成的一棵最优二叉查找树的值，
当枚举根节点ek时，它的左子树(wi,wi+1,..,wk-1)的所有节点的深度都会增加1,
那么左子树增加sum(w1,w2,...wk-1)
右子树(ek+1, ek+2,..ej)的值也会增加sum(ek+1,ek+2,...,ej).
可以看出，那么总共会增加sum(i, j) - wk


那么就可以推出状态转移了：
f(i, j) = min{ f(i,k-1)+f(k+1,j)+sum(i, j) - wk | i<=k<=j}

代码

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