寻找二叉树两个节点的最低公共祖先

给定一棵树，同时给出树中的两个结点(n1和n2)，求它们的最低公共祖先。也就是常见的LCA(Lowest Common Ancestor )问题。

看下面的图就明白了：

 

方法一

下面是一个简单的复杂度为 O(n) 的算法，解决LCA问题
1) 找到从根到n1的路径，并存储在一个向量或数组中。
2)找到从根到n2的路径，并存储在一个向量或数组中。
3) 遍历这两条路径，直到遇到一个不同的节点，则前面的那个即为最低公共祖先.

下面的C++的程序实现

01	// O(n) 解决 LCA

02	#include <iostream>

03	#include <vector>

04	using namespace std;

05

06

//二叉树节点

07	struct Node

08

{

09

int key;

10	struct Node *left, *right;

11

};

12	//公用函数，生成一个节点

13	Node * newNode(int k)

14

{

15	Node *temp = new Node;

16	temp->key = k;

17	temp->left = temp->right = NULL;

18	return temp;

19

}

20	//找到从root到 节点值为key的路径,存储在path中。没有的话返回-1

21	bool findpath(Node * root,vector<int> &path,int key){

22	if(root == NULL) return false;

23	path.push_back(root->key);

24	if(root->key == key) return true;

25	//左子树或右子树 是否找到,找到的话当前节点就在路径中了

26	bool find =  ( findpath(root->left, path, key) || findpath(root->right,path ,key) );

27	if(find) return true;

28	//该节点下未找到就弹出

29	path.pop_back();

30	return false;

31

}

32

33	int findLCA(Node * root,int key1,int key2){

34	vector<int> path1,path2;

35	bool find1 = findpath(root, path1, key1);

36	bool find2 = findpath(root, path2, key2);

37	if(find1 && find2){

38

int ans ;

39	for(int i=0; i<path1.size(); i++){

40	if(path1[i] != path2[i]){

41

break;

42

}else

43	ans = path1[i];

44

}

45	return ans;

46

}

47	return -1;

48

}

49

50	// Driver program to test above functions

51	int main()

52

{

53	// 按照上面的图来创创建树

54	Node * root = newNode(1);

55	root->left = newNode(2);

56	root->right = newNode(3);

57	root->left->left = newNode(4);

58	root->left->right = newNode(5);

59	root->right->left = newNode(6);

60	root->right->right = newNode(7);

61	cout << "LCA(4, 5) = " << findLCA(root, 4, 5);

62	cout << "\nLCA(4, 6) = " << findLCA(root, 4, 6);

63	cout << "\nLCA(3, 4) = " << findLCA(root, 3, 4);

64	cout << "\nLCA(2, 4) = " << findLCA(root, 2, 4);

65

return 0;

66

}

输出：

1	LCA(4, 5) = 2

2	LCA(4, 6) = 1

3	LCA(3, 4) = 1

4	LCA(2, 4) = 2

时间复杂度: O(n), 树被遍历了两次，每次遍历复杂度不超过n，然后比较路径。

第二种方法(只遍历一次)

上面的方法虽然是O(n)，但是操作依然繁琐了一点，并且需要额外的空间来存储路径。其实可以只遍历一次，利用递归的巧妙之处。学好二叉树，其实就是学好递归。

从root开始遍历，如果n1和n2中的任一个和root匹配，那么root就是LCA。 如果都不匹配，则分别递归左、右子树，如果有一个 key（n1或n2）出现在左子树，并且另一个key(n1或n2)出现在右子树，则root就是LCA.  如果两个key都出现在左子树，则说明LCA在左子树中，否则在右子树。

01	/* 只用一次遍历解决LCA */

02	#include <iostream>

03	using namespace std;

04	struct Node

05

{

06	struct Node *left, *right;

07

int key;

08

};

09	Node* newNode(int key)

10

{

11	Node *temp = new Node;

12	temp->key = key;

13	temp->left = temp->right = NULL;

14	return temp;

15

}

16

17	// 返回n1和n2的 LCA的指针

18	// 假设n1和n2都出现在树中

19	struct Node *findLCA(struct Node* root, int n1, int n2)

20

{

21	if (root == NULL) return NULL;

22

23	// 只要n1 或 n2 的任一个匹配即可

24	//  (注意：如果 一个节点是另一个祖先，则返回的是祖先节点。因为递归是要返回到祖先的 )

25	if (root->key == n1 || root->key == n2)

26	return root;

27	// 分别在左右子树查找

28	Node *left_lca  = findLCA(root->left, n1, n2);

29	Node *right_lca = findLCA(root->right, n1, n2);

30	// 如果都返回非空指针 Non-NULL, 则说明两个节点分别出现了在两个子树中，则当前节点肯定为LCA

31	if (left_lca && right_lca)  return root;

32	// 如果一个为空，在说明LCA在另一个子树

33	return (left_lca != NULL)? left_lca: right_lca;

34

}

35

36

//测试

37	int main()

38

{

39	// 构造上面图中的树

40	Node * root = newNode(1);

41	root->left = newNode(2);

42	root->right = newNode(3);

43	root->left->left = newNode(4);

44	root->left->right = newNode(5);

45	root->right->left = newNode(6);

46	root->right->right = newNode(7);

47	cout << "LCA(4, 5) = " << findLCA(root, 4, 5)->key;

48	cout << "\nLCA(4, 6) = " << findLCA(root, 4, 6)->key;

49	cout << "\nLCA(3, 4) = " << findLCA(root, 3, 4)->key;

50	cout << "\nLCA(2, 4) = " << findLCA(root, 2, 4)->key;

51

return 0;

52

}

时间复杂度为O(n)，但是上面的方法还是有所局限的，必须保证两个要查找的节点n1和n2都出现在树中。如果n1不在树中，则会返回n2为LCA，理想答案应该为NULL。要解决这个问题，可以先查找下 n1和n2是否出现在树中，然后加几个判断即可。

原文：http://www.acmerblog.com/lca-lowest-common-ancestor-5574.html