常见的概率相关面试题

在笔记题中概率相关的数学题，也有部分编程题，出现的还是挺多的。概率在生活中的应用较多，同时也可以综合考查面试者的思维能力、应变能力、数学能力。在这里整理了一些概率相关的笔试题和大家分享，此文不涉及编程题，都是一些和生活相关且很有趣的概率题。所有的分析都和背景颜色设置一样了，大家先思考，然后选中就可以看到分析了。

题目1

假设你参加了一个游戏节目，现在要从三个密封的箱子中选择一个。其中两个箱子是空的，另一个箱子里面有大奖(你偶像的签名^^)。你并不知道奖在哪一个箱子里，但主持人知道。游戏节目的主持人先要你选择一个箱子，接着他把你没有选的空箱子打开，以证明它是空的。最后主持人给你换箱子的机会，你可以把你所选择的箱子换成另一个没有打开的箱子。此时你该不该换箱子？

分析：

要相信直觉。你当然应该换箱子！我们把三个箱子编号A,B,C，并假设你选的是A箱。显然奖品在A里的概率是1/3，在B或C里的概率是2/3。B和C可能有一个是空的，也可能两个都是空的。因此，当你选择了A箱后，主持人很可能会打开B箱或C箱，以显示里面是空的。在这种情况下，主持人的举动并不会影响奖品在A箱里面的机会。我们假设主持人打开了B箱，以告诉你它是空的。现在A箱有奖品的概率还是1/3，B箱里面有奖品的概率是0，因此C箱里面有奖品的概率是2/3。在这种情况下，你应该换到C箱，因为它使你赢的机会提高了1倍！

题目2

有一苹果，两个人抛硬币来决定谁吃这个苹果，先抛到正面者吃。问先抛者吃到苹果的概率是多少？

分析：

我首先想到的就是把 第一次抛到正面的概率 + 第二次抛到的概率 + …..+无穷多次，当然后面的概率几乎为0了。    结果就是  P = 1/2 + 1/8 + 1/32+ ……  最后的结果就是 P = 2/3 . 这个计算也不难，其实就是等比数列，比为1/4.  简单的无穷级数 (1/2) / (1-1/4) = 2/3.    1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+… (-1<x<1)

还有一个别人的分析：给所有的抛硬币操作从1开始编号，显然先手者只可能在奇数（1,3,5,7…）次抛硬币得到苹果，而后手只可能在偶数次（2,4,6,8…）抛硬币得到苹果。设先手者得到苹果的概率为p，第1次抛硬币得到苹果的概率为1/2，在第3次（3,5,7…）以后得到苹果的概率为p/4（这是因为这种只有在第1次和第2次抛硬币都没有抛到正面（概率为1/4=1/2*1/2）的时候才有可能发生，而且此时先手者在此面临和开始相同的局面）。所以可以列出等式p=1/2+p/4，p=2/3。

题目3

条长度为l的线段，随机在其上选2个点，将线段分为3段，问这3个子段能组成一个三角形的概率是多少？

分析:

设随机选取的两个数为x，y，并令y>x，则把长度为1的线段截得的三段长度为x， y-x ，1-y，根据三角形两边和大于第三边以及两边之差小于第三边的定理，可以列出方程组
y>1-y; x<1-x; x+(1-y)>y-x;
即x<1/2; y>1/2; y>x+1/2;
画图可以算得概率为1/8；（线性规划的思想）

题目4

世界上每十万人中就有一人是艾滋病患者。艾滋病的检测目前已经很准确，但并非万无一失。它的检测准确率是99%，假设你刚去做完艾滋病检验，得到的了检测报告，结果….是阳性！你会绝望或昏倒吗？或者说，你会担心到什么程度？

分析：

你大可不必那么担心，因为你几乎可以确定没有得艾滋病。什么？检测是阳性还几乎可以确定没有艾滋病？！是的，为了说明这一点，假设有100万人和你做了同样的检验。在这100万人中，得病的会有10个，没有得病的有999990个。当这些人接受检验时，9~10个人患有艾滋病的人会呈现阳性反应，另外999990个没有得病的人则会有1%出现错误的阳性反应，换算成人数大概是1万人。也就是说，大约10000个阳性诊断中，实际只有10个左右是真正患者。因此，绝大多数所呈阳性的反应都是误诊。当你得到阳性的检测结果时，真正得艾滋病的机会大概只有千分之一。（当然，如果你在检测之前做了很可能感染艾滋病的事，那就另当别论了）

题目5

有一对夫妇，先后生了两个孩子，其中一个孩子是女孩，问另一个孩子是男孩的概率是多大？

答案是2/3.两个孩子的性别有以下四种可能：（男男）（男女）（女男）（女女），其中一个是女孩，就排除了（男男），还剩三种情况。其中另一个是男孩的占了两种，2/3.　之所以答案不是1/2是因为女孩到底是第一个生的还是第二个生的是不确定的。

题目6

一个国家人们只想要男孩，每个家庭都会一直要孩子，只到他们得到一个男孩。如果生的是女孩，他们就会再生一个。如果生了男孩，就不再生了。那么，这个国家里男女比例如何？

分析：

一开始想当然的以为男多女少，毕竟都想要男孩。但是注意这句话“如果生了男孩，就不再生了”，一个家庭可能有多个女孩，只有一个男孩。再仔细分析，我们来计算期望值，只用计算一个家庭就行了。设一个家庭男孩个数的期望值为S1，女孩为S2. 

根据题目条件，男孩的个数期望值S1=1这个是不用计算了。主要计算S2

一个家庭的孩子数量可以为:1,2,3,4,5…..  对应的的男女分布为: “男”,”女男”,”女女男”,”女女女男”,”女女女女男”…  

对应的概率分布为 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 。其中女孩的个数分别为 0,1,2,3,4……

因此 S2=0*1/2 + 1*1/4 + 2*1/8 + 3*1/16 + 4*1/32 + ………

可以按照题目2用级数求，也可以用错位相减法：S2=1/4+2/8+3/16+4/32+…  两边乘以2,得: 2*S2=1/2+2/4+3/8+4/16+5/32+..

两个式子相减得 S2=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+…=1. 所以期望值都为1，男女比例是一样的。

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