最长递增子序列

给定一个长度为n的数组，找出一个最长的单调递增子序列（不一定连续，当时先后顺序不能乱）。 更正式的定义是：

设L=<a1,a2,…,an>是n个不同的实数的序列，L的递增子序列是这样一个子序列Lin=<aK1,ak2,…,akm>，其中k1<k2<…<km且aK1<ak2<…<akm。求最大的m值。

比如数组A 为{10， 11， 12， 13， 1， 2， 3， 15}， 那么最长递增子序列为{10,11,12,13,15}。

这道题用DP解，假设从第1位到第 j 位的最长的子序列长度为L(j)，那么它一定是 L(j) = max_{i < j and A[i] <= A[j]} L(i) + 1. 然后我们遍历整个 L(j), 找出最大的长度的位置。整个操作的复杂度为 O(n^2).

代码如下：

	public int LIS(int[] arr) {
		
		// array a is used to store the maximum length
		int[] a = new int[arr.length];
		
		// initialization, set all the elements in array a to 1;
		for (int i = 0; i < a.length; i++) {
			a[i] = 1;
		}
		
		for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
			for (int j = 0; j < i; j++ ) {
				if (arr[i] > arr[j] && a[i] <= a[j] ) {
					a[i] = a[j] + 1;
				}
			}
		}
		
		int max = -1;
		//find the longest subsequence
		for (int i = 0; i < a.length; i++) {
			if (a[i] > max ) max = a[i];
		}
		
		return max;
	}

扩展：从一列数中筛除尽可能少的数使得从左往右看，这些数是从小到大再从大到小的。

假设是一个数组arr[n], 它的分段点是 i (0-i 递增， i 到 n-1 递减)， 假设我们用方法LIS(i) 找到最长的从0到 i 的递增子序列，LDS(i) 找到从 i 到 n -1的最长递减子序列，那么它的总长度为 LIS(i) + LDS(i) -1, 所以我们扫描整个数组，即让 i 从0 到 n-1, 找出使LIS(i) + LDS(i) -1 最大的即可。

后面部分讲解如何用二分查找解决LIS问题，下面部分为转载。

转自：http://www.felix021.com/blog/read.php?1587

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！

代码如下:

int LIS(int d[], int n){
    int *B = new int[n];
    int left, right, mid, len = 1;
    B[0] = d[1]; //为了和上面的一致，我们从1开始计数吧:)
    for(i = 2; i <= n; ++i){
        left = 0, right = len;
        while(left <= right){
            mid = (left + right) / 2;
            if(B[mid] < d[i]) left = mid + 1; //二分查找d[i]的插入位置
            else right = mid - 1;
        }
        B[left] = d[i]; //插入
        if(left > len) len++; //d[i]比现有的所有数字都大，所以left 才会大于 len。
    }
    delete[] B;
    return len;
}

PS. 从上面代码可以得到一个结论。如果在一个数组里面查找一个数，而这个数在数组里不存在，那么通过二分查找时，退出while循环的时候，如果那个数比数组里最大的还大，那么，left会是数组长度+1，而如果这个数的大小在数组范围内，但该值并不存在于数组，那么，最后left会停在第一个比那个值大的位置。