排序算法-基数

1 基数排序

基数排序对于整数特别有效。是一种稳定的算法（意思是相同的数字不会交换关系）。基数排序是根据数字的性质来逐步根据个位数，十位数，百位数分类求得排序结果的方法之一。它的想法如下：

(1)先将数字根据A[n]依个位数来分类，放入含有数字0,1,2,...,9的临时数组D[10][n]中，再按照数字大小顺序放回原数组。那么这时候数据已经按照个位数大小从小到大排序。

(2)同样将数字按照百位数，千位数，万位数排序,.....最后就可以得到排好序的数字。

假设有下面4个数字需要排序：123 42 765 64

第一次按照个位数的大小排序后：42 123 64 765

第二次按照十位数的大小排序后：123 42 64 765

的三次按照百位数的大小排序后：42 64 123 765，其中42，64都小于100，因此其百位数可以看成0。

从上面的算法描述可以看出，我们首先需要知道一个数据系列中的最大数据。接下来，我们还要知道它有多少位，最后我们必须知道每一位到底是什么。比如例子中最大的数据是765，我们需要765是一个3位数，而且需要知道它的个位是5，十位是6，百位是7。

取得一个数据系列中最大值是很容易的。可以用下面的函数：

/// <summary>
/// /找到一个数据序列中最大的数
/// </summary>
/// <param name="myArray">输入的整数序列</param>
/// <returns>数据序列中最大的整数</returns>
private static int FindMax(int [] myArray)
{
int max = myArray[0];

for(int i=1; i<myArray.Length; i++)
{
if( max < myArray[i] )
max = myArray[i];
}

return max;
}

我们要知道一个数据的位数也很容易。可以用下面的函数取得一个整数有多少位。

/// <summary>
/// 取得一个整数的位数。比如123， 返回3。
/// 利用整数除法的性质，不停地用10除以整数。
/// 比如：123/10 = 12，12/10 = 1，1/10 = 0。
/// 一共除了3次，那么就是一个3位数。
/// </summary>
/// <param name="number">输入的整数</param>
/// <returns>数字的位数，比如123 返回 3</returns>
private static int DigitNumber(int number)
{
int digit = 0;

do
{
number /= 10;
digit++;
} while( number != 0 );

return digit;
}

如果我们要知道一个整数的每一位，也是很简单的，比如我们需要知道765的每一位。首先765%10=5，就是个位数，然后765/10=76，76%10=6，就是十位数，765/100=7，7%10=7，就是百位数，因此可以根据简单的公式得到每一位。m=n/(10^i)，m%10就是第i位数字。算法如下：

/// <summary>
/// 得到一个整数的某一位数，0表示个位数，1表示十位数
/// 2表示百位数，等等。
/// 利用的算法是求余。比如12/1 = 12，12%10 = 2，2就是个位数
/// 12/10 = 1，1%10 = 1，1就是十位数，那么可以得到一个简单的公司
/// 令n=n/(10^kth)，那么n%10就是所要求的位数
/// </summary>
/// <param name="number">输入的整数</param>
/// <param name="kth">某位数字，0表示个位，1十位，2百位，依此类推</param>
/// <returns>返回第k位数字</returns>
private static int KthDigit(int number, int Kth)
{
number /= (int)Math.Pow(10, Kth);

return number % 10;
}

从上面的算法思想可以得到算法的实现如下：

/// <summary>
/// 基数排序的中心思想就是将数字按照个位，十位，百位.分别排好序
/// 那么整个数组也就有序了。
/// 比如我们先将数组安装个位数字进行排序，然后再将这个数组安装十位排序
/// 依次下去，我们就可以将整个数组进行排序
/// </summary>
/// <param name="myArray">输入的未排序数列</param>
public static void RadixSort(int [] myArray)
{
int [] count = {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0};
int[,] temp = new int[10, myArray.Length];

int max = FindMax( myArray ); //取得序列中的最大整数
int maxDigit = DigitNumber( max ); //得到最大整数的位数

int i, j, k;
for(i=0; i<maxDigit; i++)
{
for(j=0; j<10; j++)
count[j] = 0;

for(j=0; j<myArray.Length; j++)
{
int xx = KthDigit( myArray[j], i ); //将数据安装位数放入到暂存数组中
temp[xx,count[xx]] = myArray[j];
count[xx] = count[xx] + 1;
}

int index = 0;
for(j=0; j<10; j++) //将数据从暂存数组中取回，放入原始数组中
{
for(k=0; k<count[j]; k++)
{
myArray[index] = temp[j,k];
index++;
}
}
}
}

基数排序法的时间为O(n log_RB)。其中B是数字个数（0-9），R是基数位数（最大值数据的位数），相同数据在基数排序法的过程中的位置不会变动，是一种稳定的排序的算法。但是如果数据量很大的话，这种算法也需要很多额外的存储空间。不过从总的看来，这种算法对于整数排序还是很好的。

2 Shell排序（希尔排序）

Shell排序属于交换方法的排序算法。从前面介绍的冒泡排序法，交换排序法，选择排序法，插入排序法4者可以发现，如果数据已经大致排好序的时候，其交换数据位置的动作将会减少。例如在插入排序法过程中，如果某一整数d[i]不是较小时，则其往前比较和交换的次数会更少。

如何用简单的方式让某些数据有一定的大小次序呢？Donald Shell（Shell排序的创始人）提出了先将数据按照固定的间隔分组，例如每隔4个分成一组，然后排序各分组的数据，形成以分组来看数据已经排序，从全部数据来看，较小值已经在前面，较大值已经在后面。将初步处理了的分组再用插入排序来排序，那么数据交换和移动的次数会减少。可以得到比插入排序法更高的效率。

假设有12个数据：71 101 81 111 51 11 91 21 121 61 31 43

分成4组

第一组 71 51 121

第二组 101 11 61

第三组 81 91 31

第四组 111 21 41

当我们把各个组的数据都排好序以后，再对总的数据进行排序，那么就可以看到数据的移动次数比起普通的插入排序会少了很多。

如何进行分组呢？按照Shell的分法，h(0)=[n/2]，h(i+1)=h(i)/2。按照上面的思路，可以得到排序算法如下。

/// <summary>
/// Shell排序的中心思想是将数据进行分组，然后对每一组数据进行排序，
/// 在每一组数据都有序之后，就可以对所有的分组利用插入排序进行最后一次排序
/// 这样可以显著减少数据交换的次数，以达到加快排序速度的目的。
/// </summary>
/// <param name="myArray">输入的待排序序列</param>
public static void ShellSort(int [] myArray)
{
int i, j, increment;
int temp;

for( increment = myArray.Length / 2; increment > 0; increment /= 2 )
{
for( i = increment; i < myArray.Length; i++ )
{
temp = myArray[i];

for( j = i; j >= increment; j -= increment )
{
if( temp < myArray[j-increment] )
myArray[j] = myArray[j-increment];
else
break;
}
myArray[j] = temp;
}
}
}

在Shell之后，D.E.Knuth提出了一种新的分组方法：h(m+1)=3h(m)+1，h(1)=1，已经证明这种分组方法对数据量很大的时候很合适，而且可以避免一些原始分组方法的弊端，因此这种分组方法就成了Shell分组方法的标准分法。按照这种分组方法，可以对Shell排序改进如下：

/// <summary>
/// Shell排序的中心思想是将数据进行分组，然后对每一组数据进行排序，
/// 在每一组数据都有序之后，就可以对所有的分组利用插入排序进行最后一次排序
/// 这样可以显著减少数据交换的次数，以达到加快排序速度的目的。
/// 新的算法将增量固定为3，也就是满足了D.E.Knuth的h(m+1)=3h(m)+1，h(1)=1
/// </summary>
/// <param name="myArray">输入的待排序序列</param>
public static void ShellSort( int [] myArray )
{
int i, j, increment, temp;

increment = 3;

while( increment > 0 )
{
for( i=0; i < myArray.Length; i++ )
{
j = i;
temp = myArray[i];

while( (j >= increment) && (myArray[j-increment] > temp) )
{
myArray[j] = myArray[j - increment];
j = j - increment;
}

myArray[j] = temp;
}

if( increment/2 != 0 )
{
increment = increment/2;
}
else if( increment == 1 )
{
increment = 0;
}
else
{
increment = 1;
}
}
}

3 快速排序

快速排序是最有名且最常用的排序算法之一，因为它的时间复杂度为O(nlgn)，而且可以按照递归的思路来设计程序，它的想法如下：一般的排序方法（冒泡排序法，交换排序法，选择排序法，插入排序法）一次都只能减少一个数据量，而Shell排序法每次都按照分组来排序，相当于减少了较多的数据量，如果每次都大幅度地减少数据量，那么效率会更高。

如果可以在排完一个数据后，使其余数据分成两部分，一部分都比它大，另外一部分都比它小，再分别排序两组数据，那么效果会更好。快速排序就是利用了这个思路。

如果第一次先以第0个数据为比较值，用pos代表其下标，希望可以把pos放到合适的位置k，使右边的数据都比它小，左边的数据都比它大。

要达到这个目标，可以按照下面的办法来处理。

（1）一方面，我们从左边开始，向右去找一个比pos大的数据，设其位置为lower，然后从右边开始，向左去寻找一个比pos小的数据，设其位置为upper。然后我们交换lower和upper。接下来继续寻找，找到符合条件的就交换。直到upper小于lower为止，这时候说明右边的数据都小于pos，左边的数据都大于pos。

以pos的位置将数据分成两边，再按相同的办法来处理两边的数据直到所有的数据结束。

其算法如下：

public class QuickSorter
{
private static int[] myArray;
private static int arraySize;

public static void Sort( int[] a )
{
myArray = a;
arraySize = myArray.Length;
QuickSort();
}

/// <summary>
/// 快速排序可以用递归的办法来设计程序。其基本思想如下：
/// 首先，找到一个基准的数据，是数据右边的数都比它小，左边都比它
/// 大，然后用这个基准将所有数据分成两部分，再对每一部分使用同样
/// 的算法。
/// 如何找到基准数据呢？从第0个数据开始，从数据的右端向左寻找比它大的数，
/// 同时从数据的左端向右寻找比它小的数，然后交换两个数，这样一直找下去
/// 直到左端数据的索引大于右端的数据索引，然后将第0个数和左端的数据索引交换
/// 这样就得到了数据右边的数都比它小，左边的都比它大。
private static void QuickSort()
{
QSort( 0, arraySize - 1);
}

private static void QSort(int left, int right)
{
int pivot, l_hold, r_hold;

l_hold = left;
r_hold = right;
pivot = myArray[left];
while (left < right)
{
//从右向左找小于pivot的值，然后将它和左边的值交换，直到
//相遇为止
while ((myArray[right] >= pivot) && (left < right))
right--;
if (left != right)
{
myArray[left] = myArray[right];
left++;
}
//从左向右找大于pivot的值，然后将它和右边的值交换，直到
//相遇为止
while ((myArray[left] <= pivot) && (left < right))
left++;
if (left != right)
{
myArray[right] = myArray[left];
right--;
}
}
//将pivot放在中间，现在左边的值都小于pivot，右边的值都大于pivot
myArray[left] = pivot;
pivot = left;
left = l_hold;
right = r_hold;
//递归，直到最后一个元素
if (left < pivot)
QSort(left, pivot-1);
if (right > pivot)
QSort( pivot+1, right);
}
}

可以象下面来引用:

QuickSorter.Sort( myArray );

4 结果比较

通过实际的排序比较表明，在数据量达到50000的时候，QuickSort是最快的算法，RadixSort其次，ShellSort最慢。但是考虑到RadixSort只能排序整数，而且需要很多的暂存空间，ShellSort和QuickSort都是不错的算法。当数据量很大的时候，QuickSort是最好的选择。

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*【Author】：flyingbread
*【Date】：2007年1月31日
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