FIRST集、FOLLOW集 和 SELECT集

FIRST集、FOLLOW集 和 SELECT集

一、FIRST集

FIRST(A)为A的开始符或者首符号集。

1、定义：

设G=(VT，VN，S，P)是上下文无关文法 ，FIRST(α)={a|α能推导出aβ,a∈VT，α,β∈V*} 　　

特别的，若α能推导出ε,则规定ε∈FIRST(α)．

2、根据定义求解FIRST集（对每一文法符号X∈V计算FIRST(X)）：

①.若X∈VT，则FIRST(X)＝{X}。(简单讲，终结符的FIRST集就是它本身)

②.若X∈VN，且有产生式X→a…，a∈VT，则a∈FIRST(X)X→ε,则ε∈FIRST(X)。　（简单讲，若是非终结符X，能推导出以终结符a开头的串，那么这个终结符a属于FIRST（X），若X能够推导出空符号串ε，那么空符号串ε也属于X的FIRST集）

③.X→Y…是一个产生式且Y∈VN则把FIRST(Y)中的所有非空符号串ε元素都加入到FIRST(X)中。（这个可以理解吧）

④.若X∈VN；Y1，Y2，…，Yi∈VN，且有产生式X→Y1Y2…Yn；当Y1Y2…Yn-1都能推导出ε时，则FIRST(Y1)、FIRST(Y2)、…、FIRST(Yn-1)的所有非空元素和FIRST(Yn)包含在FIRST(X)中。

即:FIRST(X)=(FIRST(Y1)－{ε}）∪（FIRST(Y2)－{ε}）∪…∪（FIRST(Yn-1)－{ε}）∪{FIRST(Yn)}

⑤.当(4)中所有Yi能够推导出ε,(i=1,2,…n)，则

FIRST(X)=(FIRST(Y1)－{ε}）∪（FIRST(Y2)－{ε}∪…∪（FIRST(Yn)－{ε}）∪{ε}

反复使用上述②～⑤步直到每个符号的FIRST集合不再增大为止。

3、求解示例：

1、文法G[S]为：

　　S→AB

　　S→bC

　　A→ε

　　A→b

　　B→ε

B→aD

C→AD

C→b

D→aS

D→c

求每个非终结符的First集？

解：对于非终结符S，S的开始符有终结符b和非终结符A，根据上面定义②把b加入FIRST(S)，由上面的定义③把FIRST(A)中的所有非空符号串ε元素都加入到FIRST(S)中，而且因为S→AB符合上面的定义④和⑤，所以FIRST(S)=(FIRST(A)－{ε}）∪（FIRST(B)－{ε}）∪{ε}那么先求FIRST(A)和FIRST(B)，A的开始符有终结符b和空符号串ε，由定义①和定义②全部加入FIRST(A)，也就是FIRST(A)={ε,b}，同理，FIRST(B)={a,ε},这样FIRST(S)也就求出来了，FIRST(S)={b,a,ε},其实回过头来看之所以要反复调用定义②～⑤，是因为开始符中A可能为空字符串ε，所以要考虑A后面的情况。

再求，FIRST(C),由定义①，把b加入FIRST(C)，再由定义④，FIRST(C)=(FIRST(A)－{ε}）∪{FIRST(D)}，先求FIRST(D)，易知，FIRST(D)={a,c}，所以FIRST(C)={b,a,c}

4、小结：

1、对于终结符而言，FIRST集中的元素只有它本身

2、对于非终结符而言，如果开始符是终结符或者空符号串ε，则加入其FIRST集中；若开始符是非终结符，则要加入它的不含ε的FIRST集，并考虑其为ε时的情况。

二、FOLLOW集

FOLLOW(A)=｛a|S能推导出μAβ,且a∈VT，a∈FIRST(β),μ∈VT* ,β∈V+｝，若S能推导出μAβ,且β能推导出ε, 则#∈FOLLOW(A)。 也可定义为：FOLLOW(A)={a|S能推导出…Aa…,a ∈VT} ，若有S能推导出…A，则规定#∈FOLLOW(A) ，这里我们用‘#’作为输入串的结束符，或称为句子括号，
如： #输入串#。

FOLLOW(A)为非终结符A的后跟符号集合。

1、定义：

设G=(VT，VN，S，P)是上下文无关文法，A∈VN，S是开始符号 　

需要注意的是，FOLLOW(A)集是针对非终结符A的，集合中的元素是终结符，是A的全部后跟符号的集合，当A是文法G的开始符(识别符)时，把‘#也加入其中’

2、根据定义求解FOLLOW集（对每一文法符号S∈VN计算FOLLOW(S)）：

①.设S为文法中开始符号，把{#}加入FOLLOW(S)中(这里“#” 为句子括号)。

②.若A→αBβ是一个产生式，则把FIRST(β)的非空元素加入

FOLLOW(B)中。如果β能够推导出ε则把FOLLOW(A)也加入FOLLOW(B)中。

③.反复使用(b)直到每个非终结符的FOLLOW集不再增大为止。

3、求解示例：

1、文法G[E]为：

E → TE'

E' → +TE' |ε

T → FT'

T' → *FT' |ε
F → (E) | i

求每个非终结符的FOLLOW集？

解：先给出它们的FIRST集：(求解方法见上面FIRST集的求解)

FIRST(F)={ (,i }

FIRST(T’)={ *,ε }

FIRST(T) ={ (,i }

FIRST(E’)={ +,ε }

FIRST(E)={ (,i }
FOLLOW集的求解：因为E是文法的识别符所以把#加入FOLLOW(E)，又由规则F → (E) | i 得E的后跟符号)，所以，FOLLOW(E)=｛ #，) ｝;
FOLLOW(E’)={ #,) } ∵E → TE’ ∴FOLLOW(E)加入 FOLLOW(E’)
FOLLOW(T)={+,),#} ∵E'→ +TE’ ∴FIRST(E’)-{ε}加入FOLLOW(T);又E’→ε， ∴ FOLLOW(E’)加入FOLLOW(T)
FOLLOW(T’)= FOLLOW(T)= {+,),#} ∵T → FT’ ∴ FOLLOW(T)加入FOLLOW(T’)
FOLLOW(F)={*,+,),#} ∵T → FT’ ∴ FOLLOW(F)=FIRST（T’）-{ε} ;又T’→ε ∴ FOLLOW(T)加入FOLLOW(F)

4、小结：

1、FOLLOW集对于非终结符而言，是非终结符的全部后跟符号的集合，如果后跟终结符则加入，如果后跟非终结符，则加入该非终结符的不含空符号串的FIRST集，特别地，文法的识别符的FOLLOW集需要额外的加入‘#’。

三、SELECT集

1、定义：

给定上下文无关文法的产生式A→α, A∈VN,α∈V*, 若α不能推导出ε,则SELECT(A→α)=FIRST(α) 　　

如果α能推导出ε则：SELECT(A→α)=（FIRST(α) –{ε}）∪FOLLOW(A)

需要注意的是，SELECT集是针对产生式而言的。

2、LL(1)文法：

① 一个上下文无关文法是LL(1)文法的充分必要条件是：对每个非终结符A的两个不同产生式，A→α, A→β,满足SELECT(A→α)∩SELECT(A→β)=空集 其中α，β不同时能推导出ε。

② LL(1)文法的含义：
第一个L 从左到右扫描输入串
第二个L 生成的是最左推导
1 向右看一个输入符号便可决定选择哪个产生式。

③LL(1)文法的判别：当我们需选用自顶向下分析技术时，首先必须判别所给文法是否是LL(1)文法。因而我们对任给文法需计算FIRST、FOLLOW、SELECT集合，进而判别文法是否为LL(1)文法。

3、求解示例：

1、文法G[S]为：

　　S→AB

　　S→bC

　　A→ε

　　A→b

　　B→ε

B→aD

C→AD

C→b

D→aS

D→c

求每个产生式的SELECT集，并判断文法G是否为LL(1)文法？

解：SELECT(S→AB)=（FIRST(AB)-{ε})∪FOLLOW(S)={b,a,#} 　　

SELECT(S→bC)=FIRST(bC)={b} 　　

SELECT(A→ε)=(FIRST(ε) -{ε})∪FOLLOW(A)={a,c,#} 　　

SELECT(A→b)=FIRST(b)={b} 　　

SELECT(B→ε)=(FIRST(ε) -{ε})∪FOLLOW(B)={#} 　　

SELECT(B→aD)=FIRST(aD)={a} 　　

SELECT(C→AD)=FIRST(AD)={a,b,c} 　　

SELECT(C→b)=FIRST(b)={b} 　　

SELECT(D→aS)=FIRST(aS)={a} 　　

SELECT(D→c)=FIRST(c)={c}

由以上计算结果可得相同左部产生式的SELECT交集为： 　　

SELECT(S→AB)∩SELECT(S→bC)={b,a,#}∩{b}={b}≠ф 　　

SELECT(A→ε)∩SELECT(A→b)={a,c,#}∩{b}=ф 　　

SELECT(B→ε)∩SELECT(B→aD)={#}∩{a}=ф 　　

SELECT(C→AD)∩SELECT(C→b)＝{b,a,c}∩{b}＝{b}≠ф 　　

SELECT(D→aS)∩SELECT(D→c)={a}∩{c}＝ф 　　
由LL(1)文法定义知该文法不是LL(1)文法，因为具有相同左部其产生式的SELECT集的交集不为空。

4、小结：

1、Select集的作用是将first集和follow集进行合并，如果两个文法的左端都是A，若他们的select集交集为空，表明他们是两个无关的，不会产生不确定性的文法，反之，则表明文法不是LL(1)文法。