非参数统计［释意］

       非参数统计是应用统计学的重要分支之一。非参数统计区别于传统的参数统计的基本 特点是：非参数统计分析模型通常对模型和数据的假定更为宽松 。一般而言，非参数统计是对数据分布的具体形式不做细致假定，尽量从数据本身获得数据的结构关系，逐渐建立对研究对象的数学模型和统计模型的方法。

     非参数统计是 19 世纪 40 年代以后兴起的。 1942 年， J.Wolfowitz 首先使用非参数统计一词，早期的非参数统计主要是扩充参数检验的内容，以使得传统的检验过程可以应用于小样本和不同类型和分布的数据，比如常用的非参数检 验有符号检验、双样本 wilcoxon 检验，多样本 Kruskal-Wallis 检验、 检验等，主要利用的工具有秩和格点概率分析等，这些检验方法至今仍然在各个领域广泛应用。近年来，由于统计理论的进一步发展和计算机收集处理数据能力的提 高，使得发展随数据结构不同而灵活变化的模型成为可能。在统计研究领域一些非常有意义的新的研究方向正成为研究热点，非参数统计也是其中之一，非参数密 度、非参数回归以及非参数学习等内容正在成为新的研究和应用主题，研究人员利用统计逼近理论突破参数回归和模型估计原有理论框架，利用各种算法改进模型的 计算过程，通过调整预测偏差和方差的比例来发展适应性更强，解释更为精练、拟合优度适中和计算更为有效的模型。从非参数研究角度来看，今天的非参数统计是 统计和计算的交叉产物。非参数将模型建立在坚实的数据基础上的建模观点，使得非参数统计有着更广泛的应用前景。

如果在一个统计问题中，其总体分布不能用有限个实参数来刻画，只能对它作一些诸如分布连续、有密度、具有某阶矩等一般性的假定，则称之为非参数统计 问题。例如，检验“两个总体有相同分布”这个假设，若假定两总体的分布分别为正态分布N(μ1,σ2)和N(μ2,σ2)，则问题只涉及三个实参数 μ1，μ2,σ2，这是参数统计问题。若只假定两总体的分布为连续，此外一无所知，问题涉及的分布不能用有限个实参数刻画，则这是非参数统计问题。又如， 估计总体分布的期望μ，若假定总体分布为正态 N(μ,σ2)，则问题是参数性的；若只假定总体分布的期望值存在，则问题是非参数性的。不过参数统计与非参数统计之间并没有泾渭分明的界线。有的统计问 题，从不同的角度，可以理解为参数性的，也可以理解为非参数性的。例如线性回归（见回归分析）问题,若关心的是估计回归系数,它只是有限个实参数,因而可 以看成是参数性的。但是,如果对随机误差的分布类型没有作任何假定，则从问题的总体分布这个角度看，也可以看成是非参数性的。
　　重要的非参数统计方法   秩方法是基于秩统计量(见统计量)的一类重要的非参数统计方法。设有样本X1,X2，…,Xn，把它们由小到大排列,若Xi在这个次序中占第Ri个位置 (最小的占第1个位置), 则称Xi的秩为Ri(i=1,2,…，n)。1945年F.威尔科克森提出的"两样本秩和检验"是一个有代表性的例子。设X1,X2,…，Xm和 Y1,Y2,…,Yn分别是从分布为 F(x)和 F(x-θ)的总体中抽出的样本，F连续但未知，θ也未知，检验假设 H:θ=0，备择假设为θ>0(见假设检验)。记Yi在混合样本(X1,X2,…,Xm，Y1，Y2,…,Yn)中的秩为Ri,且为诸秩的和,当W >C时，否定假设H，这里C决定于检验的水平。这是一个性能良好的检验。秩方法的一个早期结果是C.斯皮尔曼于1904年提出的秩相关系数。设 (X1，Y1),(X2，Y2),…，(Xn,Yn)是从二维总体(X，Y)中抽出的样本，Ri为Xi在(X1,X2,…,Xn)中的秩，Qi为Yi在 (Y1,Y2,…,Yn)中的秩,定义秩相关系数为(Ri,Qi)(i=1,2,…n)的通常的相关系数（见相关分析）。它可以作为X、Y之间相关程度的 度量，也可用于检验关于X、Y独立性的假设。
　　次序统计量和U 统计量在非参数统计中也有重要应用。前者可用于估计总体分布的分位数（见概率分布）、检验两总体有相同的分布及构造连续总体分布的容忍限和容忍区间（见区 间估计）等。后者主要用于构造总体分布的数字特征的一致最小方差无偏估计(见点估计)及基于这种估计的假设检验。
　　苏联数学家Α.Η.柯尔莫哥洛夫和Β.И.斯米尔诺夫在20世纪30年代的工作开辟了非参数统计的一个方面，他们的方法基于样本X1,X2，…,Xn 的经验分布函数Fn(x)(见样本)。柯尔莫哥洛夫考察 Fn(x)与理论分布F(x)的最大偏差墹n，当墹n超过一定限度时，否定这个理论分布F(x)。这就是柯尔莫哥洛夫检验。斯米尔诺夫则考察由两个分布为 F(x)和g(x)的总体中抽出的样本X1，X2,…，Xm和Y1,Y2,…,Yn计算其经验分布Fm(x)和gn(x)的最大偏差墹mn，当墹mn超过 一定限度时,否定“F与g相等”这个假设。这就是斯米尔诺夫检验。
　　在非参数性估计方面，有关于估计分布的对称中心、概率密度函数和回归函数等比较重要的成果。
　　非参数统计的特点 　非参数统计问题中对总体分布的假定要求的条件很宽，因而针对这种问题而构造的非参数统计方法，不致因为对总体分布的假定不当而导致重大错误,所以它往往 有较好的稳健性(见稳健统计),这是一个重要特点。但因为非参数统计方法需要照顾范围很广的分布，在某些情况下会导致其效率的降低。不过，近代理论证明 了：一些重要的非参数统计方法，当与相应的参数方法比较时,即使在最有利于后者的情况下,效率上的损失也很小。
　　由于非参数统计中对分布假定要求的条件宽，因而大样本理论（见大样本统计）占据了主导地位。第二次世界大战前，非参数统计的大样本理论已有了一些结 果，从20世纪50年代直到现代，更有了显著的进展，尤其是关于秩统计量与U 统计量的大样本理论，及基于这种理论的大样本非参数方法，研究成果很多。