猴子分桃子

原文

题目如下：

五只猴子分桃。半夜，第一只猴子先起来，它把桃分成了相等的五堆，多出一只。于是，它吃掉了一个，拿走了一堆； 第二只猴子起来一看，只有四堆桃。于是把四堆合在一起，分成相等的五堆，又多出一个。于是，它也吃掉了一个，拿走了一堆；......其他几只猴子也都是 这样分的。问：这堆桃至少有多少个？

这完全是一个数学问题。

假设这堆桃最初有X个。由第一个猴子吃掉一个，拿走一堆，可知X模5得1，即X=5*a+1.，第一个猴子走后剩下4a个桃子。

由第二个猴子吃掉一个，拿走一堆，可知4a模5得1，即4a=5*i+1，其中i>=0，解这个方程，

4a=5i+1,i>=0,由于a和i都是整数，那么i一定为奇数，否则5i+1为奇数，4a为偶数，左边不等于右边。设i=2*j+1,j>=0，则4a=10*j+6.即2a=5j+3，j一定为奇数，设j=2b+1,b>=0，则有2a=10b+8,即a=5b+4,b>=0。

可得a=5*b+4，其中b>=0，剩下16b+12个桃子。

由第三个猴子吃掉一个，拿走一堆，可知16b+12模5得1，即16b+12=5*j+1，其中j>=0，解这个方程可得b=5*c+4，其中c>=0，依次类推。

第四个猴子，得到c=5*d+4，d>=0；第五个猴子，得到d=5*e+4，e>=0。

由上得到a=5a+1=25b+21=125c+121=625d+621=3125e+3121, e>=0。

因此这堆桃至少有3121个。

假如有N个猴子，那么计算最少的桃子数目程序如下：

int i=1;
int sum=0;
while(i<N)
{
    sum=5*sum+4;i++;
} //循环N-1次
sum=5*sum+1; //再综合一下

 

此时的sum即为最少的桃子数目。

评论

1 楼 liuweinjust 2012-08-10  

分析的很好，