矩阵-求逆

设R是一个交换环，A是一个以R中元素为系数的 n×n 的矩阵。A的伴随矩阵可按如下步骤定义：

• 定义：A关于第i 行第j 列的余子式（记作M_ij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(n − 1)×(n − 1)矩阵的行列式。
• 定义：A关于第i 行第j 列的代数余子式是：

。

• 定义：A的余子矩阵是一个n×n的矩阵C，使得其第i 行第j 列的元素是A关于第i 行第j 列的代数余子式。

引入以上的概念后，可以定义：矩阵A的伴随矩阵是A的余子矩阵的转置矩阵：

。

 

要注意伴随矩阵是余子矩阵的转置，第3行第2列的系数应该是A关于第2行第3列的代数余子式。

伴随矩阵法

如果矩阵可逆，则其中是的伴随矩阵。

注意：中元素的排列特点是的第列元素是的第行元素的代数余子式。要求得即为求解的余因子矩阵的转置矩阵。

 

初等变换法

如果矩阵和互逆，则。由条件以及矩阵乘法的定义可知，矩阵和都是方阵。再由条件以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为0。也就是说，这两个矩阵的秩等于它们的级数（或称为阶，也就是说，A与B都是方阵，且rank(A) = rank(B) = n）。换句话说，这两个矩阵可以只经由初等行变换，或者只经由初等列变换，变为单位矩阵。

因为对矩阵施以初等行变换（初等列变换）就相当于在的左边（右边）乘以相应的初等矩阵，所以我们可以同时对和施以相同的初等行变换（初等列变换）。这样，当矩阵被变为时，就被变为的逆阵。

 

>> a

a =

    12    33    32
    12    43    51
    22    12    55

>> b=inv(a)

b =

    0.1651   -0.1348    0.0289
    0.0435   -0.0041   -0.0215
   -0.0755    0.0548    0.0113

>> a*b

ans =

    1.0000         0    0.0000
         0    1.0000    0.0000
         0    0.0000    1.0000

>>