算法系列之十三：椭圆的生成算法

椭圆和直线、圆一样，是图形学领域中的一种常见图元，椭圆的生成算法（光栅转换算法）也是图形学软件中最常见的生成算法之一。在平面解析几何中，椭圆的方程可以描述为(x – x₀)² / a²+ (y – y₀)² / b² = 1，其中(x₀, y₀)是圆心坐标，a和b是椭圆的长短轴，特别的，当(x₀, y₀)就是坐标中心点时，椭圆方程可以简化为x² / a² + y² / b² = 1。在计算机图形学中，椭圆图形也存在在点阵输出设备上显示或输出的问题，因此也需要一套光栅扫描转换算法。为了简化，我们先考虑圆心在原点的椭圆的生成，对于中心不是原点的椭圆，可以通过坐标的平移变换获得相应位置的椭圆。

在进行扫描转换之前，需要了解一下椭圆的对称性，如图（1）所示：

图（1）椭圆的对称性

中心在原点。焦点在坐标轴上的标准椭圆具有X轴对称、Y轴对称和原点对称特性，已知椭圆上第一象限的P点坐标是(x, y)，则椭圆在另外三个象限的对称点分别是(x, -y)、(-x, y)和(-x, -y)。因此，只要画出第一象限的四分之一椭圆，就可以利用这三个对称性得到整个椭圆。

在光栅设备上输出椭圆有很多种方法，可以根据直角平面坐标方程直接求解点坐标，yekeyii利用极坐标方程求解，但是因为涉及到浮点数取整，效果都不好，一般都不使用直接求解的方式。本文就介绍几种计算机图形学中两种比较常用的椭圆生成方法：中点画椭圆算法和Bresenham椭圆生成算法。

1、 中点画椭圆法

中点在坐标原点，焦点在坐标轴上（轴对齐）的椭圆的平面集合方程是：

x² / a² + y² / b² = 1，也可以转化为如下非参数化方程形式：

F(x, y) = b²x² + a²y² - a²b² = 0 （方程 1）

无论是中点画线算法、中点画圆算法还是本节要介绍的中点画椭圆算法，对选择x方向像素Δ增量还是y方向像素Δ增量都是很敏感的。举个例子，如果某段圆弧上，x方向上增量+1个像素时，y方向上的增量如果 < 1，则比较适合用中点算法，如果y方向上的增量 > 1，就会产生一些跳跃的点，最后生成的光栅位图圆弧会有一些突变的点，看起来好像不在圆弧上。因此，对于中点画圆弧算法，要区分出椭圆弧上哪段Δx增量变化显著，哪段Δy增量变化显著，然后区别对待。由于椭圆的对称性，我们只考虑第一象限的椭圆圆弧，如图（2）所示：

图（2）第一象限椭圆弧示意图

定义椭圆弧上某点的切线法向量N如下：

对方程1分别求x偏导和y偏导，最后得到椭圆弧上(x,y)点处的法向量是（2b²x, 2a²y）。dy/dx = -1的点是椭圆弧上的分界点。此点之上的部分（橙褐色部分）椭圆弧法向量的y分量比较大，即：2b²(x + 1) < 2a²(y – 0.5)；此点之下的部分（蓝紫色部分）椭圆弧法向量的x分量比较大，即：2b²(x + 1) > 2a²(y – 0.5)。

对于图（2）中橙褐色标识的上部区域，y方向每变化1个单位，x方向变化大于一个单位，因此中点算法需要沿着x方向步进画点，x每次增量加1，求y的值。同理，对于图（2）中蓝紫色标识的下部区域，中点算法沿着y方向反向步进，y每次减1，求x的值。先来讨论上部区域椭圆弧的生成，如图（3）所示：

图（3）中点画椭圆算法对上部区域处理示意图

假设当前位置是P(x_i, y_i)，则下一个可能的点就是P点右边的P1(x_i+1, y_i)点或右下方的P2(x_i+1, y_i-1)点，取舍的方法取决于判别式d_i，d_i的定义如下：

d_i = F(x_i+1, y_i-0.5) = b²(x_i+1)² + a²(y_i-0.5)² – a²b²

若d_i < 0，表示像素点P1和P2的中点在椭圆内，这时可取P1为下一个像素点。此时x_i+1 = x_i + 1，y_i+1 = y_i，代入判别式d_i得到d_i+1：

d_i+1 = F(x_i+1+1, y_i+1-0.5) = b²(x_i+2)² + a²(y_i-0.5)² – a²b² = d_i + b²(2x_i + 3)

计算出d_i的增量是b²(2x_i + 3)。同理，若d_i >= 0，表示像素点P1和P2的中点在椭圆外，这时应当取P2为下一个像素点。此时x_i+1 = x_i + 1，y_i+1 = y_i - 1，代入判别式d_i得到d_i+1：

d_i+1 = F(x_i+1+1, y_i+1-0.5) = b²(x_i+2)² + a²(y_i-1.5)² – a²b² = d₁ + b²(2x_i+3) + a²(-2y_i+2)

计算出d_i的增量是b²(2x_i+3)+a²(-2y_i+2)。计算d_i的增量的目的是减少计算量，提高算法效率，每次判断一个点时，不必完整的计算判别式d_i，只需在上一次计算出的判别式上增加一个增量即可。

接下来继续讨论下部区域椭圆弧的生成，如图（4）所示：

图（4）中点画椭圆算法对下部区域处理示意图

假设当前位置是P(x_i, y_i)，则下一个可能的点就是P点左下方的P1(x_i -1, y_i-1)点或下方的P2(x_i, y_i-1)点，取舍的方法同样取决于判别式d_i，d_i的定义如下：

d_i = F(x_i+0.5, y_i-1) = b²(x_i+0.5)² + a²(y_i-1)² – a²b²

若d_i < 0，表示像素点P1和P2的中点在椭圆内，这时可取P2为下一个像素点。此时x_i+1 = x_i + 1，y_i+1 = y_i - 1，代入判别式d_i得到d_i+1：

d_i+1 = F(x_i+1+0.5, y_i+1-1) = b²(x_i+1.5)² + a²(y_i-2)² – a²b² = d_i + b²(2x_i+2)+a²(-2y_i+3)

计算出d_i的增量是b²(2x_i+2)+a²(-2y_i+3)。同理，若d_i >= 0，表示像素点P1和P2的中点在椭圆外，这时应当取P1为下一个像素点。此时x_i+1 = x_i，y_i+1 = y_i - 1，代入判别式d_i得到d_i+1：

d_i+1 = F(x_i+1+0.5, y_i+1-1) = b²(x_i+0.5)² + a²(y_i-2)² – a²b² = d₁ + a²(-2y_i+3)

计算出d_i的增量是a²(-2y_i+3)。

中点画椭圆算法从(0, b)点开始，第一个中点是(1, b – 0.5)，判别式d的初始值是：

d₀ = F(1, b–0.5) = b² + a²(-b+0.25)

上部区域生成算法的循环终止条件是：2b²(x + 1) >= 2a²(y – 0.5)，下部区域的循环终止条件是y = 0，至此，中点画椭圆算法就可以完整给出了：

20void MP_Ellipse(int xc , int yc , int a, int b)

21{

22 double sqa = a * a;

23 double sqb = b * b;

24

25 double d = sqb + sqa * (-b + 0.25);

26 int x = 0;

27 int y = b;

28 EllipsePlot(xc, yc, x, y);

29 while( sqb * (x + 1) < sqa * (y - 0.5))

30 {

31 if (d < 0)

32 {

33 d += sqb * (2 * x + 3);

34 }

35 else

36 {

37 d += (sqb * (2 * x + 3) + sqa * (-2 * y + 2));

38 y--;

39 }

40 x++;

41 EllipsePlot(xc, yc, x, y);

42 }

43 d = (b * (x + 0.5)) * 2 + (a * (y - 1)) * 2 - (a * b) * 2;

44 while(y > 0)

45 {

46 if (d < 0)

47 {

48 d += sqb * (2 * x + 2) + sqa * (-2 * y + 3);

49 x++;

50 }

51 else

52 {

53 d += sqa * (-2 * y + 3);

54 }

55 y--;

56 EllipsePlot(xc, yc, x, y);

57 }

58}

EllipsePlot()函数利用椭圆的三个对称性，一次完成四个对称点的绘制，因为简单，此处就不再列出代码。

2、 Bresenham算法

中点画椭圆法中，计算判别式d使用了浮点运算，影响了椭圆的生成效率。如果能将判别式规约到整数运算，则可以简化计算，提高效率。于是人们针对中点画椭圆法进行了多种改进，提出了很多种中点生成椭圆的整数型算法，Bresenham椭圆生成算法就是其中之一。

在生成椭圆上部区域时，以x轴为步进方向，如图（5-a）所示：

图（5）Bresenham椭圆生成算法判别式

x每步进一个单位，就需要在判断y保持不变还是也步进减1，bresenham算法定义判别式为：

D = d₁ – d₂

如果D < 0，则取P1为下一个点，否则，取P2为下一个点。采用判别式D，避免了中点算法因y-0.5而引入的浮点运算，使得判别式规约为全整数运算，算法效率得到了很大的提升。根据椭圆方程，可以计算出d₁和d₂分别是：

d₁ = a²(y_i² – y²)

d₂ = a²(y² – y_i+1²)

以(0, b)作为椭圆上部区域的起点，将其代入判别式D可以得到如下递推关系：

D_i+1 = D_i + 2b²(2x_i + 3) (Di < 0)

D_i+1 = D_i + 2b²(2x_i + 3) – 4a²(y_i - 1) (Di >= 0)

D₀ = 2b² – 2a²b + a²

在生成椭圆下部区域时，以y轴为步进方向，如图（5-b）所示，y每步进减一个单位，就需要在判断x保持不变还是步进加一个单位，对于下部区域，计算出d₁和d₂分别是：

d₁ = b²(x_i+1² – x²)

d₂ = b²(x² – x_i²)

以(x_p, y_p)作为椭圆下部区域的起点，将其代入判别式D可以得到如下递推关系：

D_i+1 = D_i – 4a²(y_i - 1) + 2a² (Di < 0)

D_i+1 = D_i + 2b²(x_i + 1) – 4a²(y - 1) + 2a² + b² (Di >= 0)

D₀ = b²(x_p + 1)² +b²x_p² - 2a²b² + 2a²(y_p - 1)²

根据以上分析，Bresenham椭圆生成算法的实现就比较简单了：

61void Bresenham_Ellipse(int xc , int yc , int a, int b)

62{

63 int sqa = a * a;

64 int sqb = b * b;

65

66 int x = 0;

67 int y = b;

68 int d = 2 * sqb - 2 * b * sqa + sqa;

69 EllipsePlot(xc, yc, x, y);

70 int P_x = ROUND_INT( (double)sqa/sqrt((double)(sqa+sqb)) );

71 while(x <= P_x)

72 {

73 if(d < 0)

74 {

75 d += 2 * sqb * (2 * x + 3);

76 }

77 else

78 {

79 d += 2 * sqb * (2 * x + 3) - 4 * sqa * (y - 1);

80 y--;

81 }

82 x++;

83 EllipsePlot(xc, yc, x, y);

84 }

85

86 d = sqb * (x * x + x) + sqa * (y * y - y) - sqa * sqb;

87 while(y >= 0)

88 {

89 EllipsePlot(xc, yc, x, y);

90 y--;

91 if(d < 0)

92 {

93 x++;

94 d = d - 2 * sqa * y - sqa + 2 * sqb * x + 2 * sqb;

95 }

96 else

97 {

98 d = d - 2 * sqa * y - sqa;

99 }

100 }

101}

总结一下，本文介绍了两种计算机图形学中常见的椭圆生成算法，实际上还有很多种改进算法，包括提高效率，引入反走样技术等等，但那已经不是本文的重点，能把算法的基本原理讲清楚才是本文的目的。

参考资料：

【1】计算几何：算法设计与分析周培德 清华大学出版社 2005年

【2】计算几何：算法与应用德贝尔赫（邓俊辉译） 清华大学出版社 2005年

【3】计算机图形学孙家广、杨常贵清华大学出版社 1995年