字母排序问题

原题叙述：http://www.iteye.com/topic/15295

引用

假设有这样一种字符串，它们的长度不大于 26 ，而且若一个这样的字符串其长度为 m ，则这个字符串必定由 a, b, c ... z 中的前 m 个字母构成，同时我们保证每个字母出现且仅出现一次。比方说某个字符串长度为 5 ，那么它一定是由 a, b, c, d, e 这 5 个字母构成，不会多一个也不会少一个。嗯嗯，这样一来，一旦长度确定，这个字符串中有哪些字母也就确定了，唯一的区别就是这些字母的前后顺序而已。

现在我们用一个由大写字母 A 和 B 构成的序列来描述这类字符串里各个字母的前后顺序：

如果字母 b 在字母 a 的后面，那么序列的第一个字母就是 A （After），否则序列的第一个字母就是 B （Before）；
如果字母 c 在字母 b 的后面，那么序列的第二个字母就是 A ，否则就是 B；
如果字母 d 在字母 c 的后面，那么 …… 不用多说了吧？直到这个字符串的结束。

这规则甚是简单，不过有个问题就是同一个 AB 序列，可能有多个字符串都与之相符，比方说序列“ABA”，就有“acdb”、“cadb”等等好几种可能性。说的专业一点，这一个序列实际上对应了一个字符串集合。那么现在问题来了：给你一个这样的 AB 序列，问你究竟有多少个不同的字符串能够与之相符？或者说这个序列对应的字符串集合有多大？注意，只要求个数，不要求枚举所有的字符串。

这个结构很有意思。给定一个字符串的集合，求把新的字母插入到最后一个字母之前或之后，生成的新的字符串集合。

直观的想法会是从头模拟，对于集合里面每个字符串，试着把新字母往里插，一个字符串能插出0到n个结果，n是字符串的长度。然后把每个字符串插出来的结果合并。但是，这个集合明显是指数式爆炸增长的阿。这样穷举显然是不行的。

穷举每一个元素不行，那就想想，集合是不是可以分成多个子集，每个子集的处理方式都是相同的？

很容易观察到，新字母的插入位置，只和最后一个字母相关。比如要把z插入由a-y组成的字符串里，我们只要关心y所在的位置就可以了。不管其他字母如何排列，我们都能用同样的方式插。

更好的想法是反过来想：

比如我们要把z插在字符串第9个位置，放置在y之后(After)，
那么，“我把z插在第9个位置”这句话，就可以分解成如下几种情况：
“原来y在第0个位置，我把z插在第九个位置”
“原来y在第1个位置，我把z插在第九个位置”
“原来y在第2个位置，我把z插在第九个位置”
“原来y在第3个位置，我把z插在第九个位置”
“原来y在第4个位置，我把z插在第九个位置”
“原来y在第5个位置，我把z插在第九个位置”
“原来y在第6个位置，我把z插在第九个位置”
“原来y在第7个位置，我把z插在第九个位置”
“原来y在第8个位置，我把z插在第九个位置”

然后，我们再问自己：
原来的集合里，有多少个字符串满足“原来y在第0个位置”？经计算，有k[0]个
原来的集合里，有多少个字符串满足“原来y在第1个位置”？经计算，有k[1]个
原来的集合里，有多少个字符串满足“原来y在第2个位置”？经计算，有k[2]个
原来的集合里，有多少个字符串满足“原来y在第3个位置”？经计算，有k[3]个
...
原来的集合里，有多少个字符串满足“原来y在第7个位置”？经计算，有k[7]个
原来的集合里，有多少个字符串满足“原来y在第8个位置”？经计算，有k[8]个

最后，我们问自己：
新的集合中，有多少个字符串满足“现在的z在第9个位置”？
计算的方法就是把k[0],k[1],k[2]一直到k[8]全部加起来。


如果你要把z放到第9位置，但是要插到y的前面(Before)，那就算算：
“原来y在第9个位置，我把z插在第九个位置”（原来y在第9个，插入z之后，y被挤到第10个了）
“原来y在第10个位置，我把z插在第九个位置”
“原来y在第11个位置，我把z插在第九个位置”
。。。
“原来y在第24个位置，我把z插在第九个位置”
然后加起来。


如果你把z能插的位置都算一遍，然后再加起来，就是结果了。但是，我们的中间步骤需要保留这个“集合中，有多少字符串，z在第n个位置”（for n in 0..25)


算法就出来了：

保留一个数组：第i个元素储存“集合里有多少字符串满足‘最后一个字母在第i个位置’”。
显然初始值是[1]。只有一个元素，就是1。因为集合是{"a"}，a只能在第0个位置，且只有1种情况。
当读到一个字符(A或Ｂ），如果是Ａ，就生成一个新的数组，第i个元素是旧数组第0,1,...,i-1个元素的数值的和。如果是B，就是i,i+1,...,n-1个元素之和。n是原数组的大小。
读完最后一个字母，算完，将新数组元素加起来，就是结果。


时间复杂度：O(n^3)。一共n个字母，数组长度随字母个数线性增长。每一个字母都是n^2的，n是数组长度。因为要对每个新数组的元素，遍历一遍旧数组。
空间复杂度：O(n)。可以用两个数组轮流使用。Haskell和Java都有垃圾回收，不用太在意。


实现：

module Main where

main = do
    ln <- getLine
    putStrLn $ show $ afterBefore $ ln

afterBefore :: [Char] -> Integer
afterBefore = sum . foldl induct [1]

induct :: [Integer] -> Char -> [Integer]
induct spectrum place = case place of
    'A' -> [sum (take n spectrum) | n <- [0..(length spectrum)]]
    'B' -> [sum (drop n spectrum) | n <- [0..(length spectrum)]]