以单一率（Single Propotion）为例的Meta分析原理详解

1. 什么是Meta分析
Meta分析是指将多个研究结果整合在一起的统计方法，所以又叫整合分析或荟萃分析。脑补通道->


2.Meta分析的步骤分解
Meta分析的步骤可以分解为以下几步：



[1]通过对研究问题和数据类型的分析，确定使用何种Effect Measure。所谓Effect Measure就是用何种方式来度量治疗方法/政策/教育方法的研究对象的效果。例如对某种治疗手段的研究，分为一个治疗组和一个对照组来进行研究。则治疗组和对照组的效果差别就可以用来度量该治疗手段的效果，作为Effect Measure。
[2]计算各个Study的Effect Size和方差。所谓Effect Size，是对于Effect Measure的量化指标。
[3]根据各个Study的Effect Size，根据不同的情况使用Fixed Effect Model或Random Effect Model计算Combined Effect Size。值得注意的是，最终计算结果不是一个精确的值，而是一个服从正态分布的估计。其中横坐标表示真实Effect Size（True Effe ct Size）的取值，纵坐标表示真实Effect Size为该取值的概率。

下面就分步骤解析Meta分析的过程和原理。



3. 计算Study的Effect Size和方差
Study的Effect Size计算需要根据数据类型，进行计算，例如：

• 二值型数据：可以采用risk ratio (RR，also called the relative risk）、odds ratio (OR)、the risk difference (RD，also called the absolute risk reduction)、number needed to treat (NNT)等等
• 连续型数据：mean difference (or difference in means)、standardized mean difference
• 序号型数据：Measurement scales
• ... ...

本文特别关注一种数据类型：计数型数据的Meta分析，采用的Effect度量称作单一率（Single Proption）。之所以称作”单一率“因为这种Effect Size的计算只依赖一组数据，而不像其他的数据类型，通常需要一组实验组和一组对照组。

单一率的计算方法有以下几种，可以根据研究的需要进行选用：

单一率的具体度量	计算公式
比率	p=event/n
log率	log=log(event/n)
logit率	logit=log((event/n)/(1-event/n))
反正弦率	arcsin=asin(sqrt(event/(n+1)))
双重反正弦率	darcsin=0.5*(asin(sqrt(event/(n+1)))+asin(sqrt((event+1)/(n+1))))

Study的方差计算方法采用：Clopper-Pearson interval also called 'exact' binomial interval（待完成）

有了Study的方差之后，根据正态分布的性质，Study的置信区间的计算公式为：

均值(Effect Size) ± 1.96 × 标准差(方差的平方根)

4. 计算Combined Effect Size和方差
有了Study的Effect Size和方差，下一步就是计算Combined Effect Size和方差。值得注意的是无论Study的Effect Size和方差是如何进行计算的，接下来Combined Effect Size和方差的计算方法都是相同的。

计算Combined Effect Size的过程本质上是通过一组采样值来估计总体取值的过程。总体的取值无法准确估计，单一的取值也不具有意义。所以估计的结果是一个总体取值的正态分布。任意一个正态分布都由两个参数唯一决定：平均值和方差。


4.1 Fixed Effect Model和Random Effect Model
基于对Study研究总体的不同假设，在进行Meta分析时有两种模型：Fixed Effect Model和Random Effect Model。当各个Study研究总体的True Effect Size相同时，使用Fix Effect Model进行计算。如果各个Study研究总体的True Effect Size不同时，就无法使用Fix Effect Model进行计算。此时如果认为各个Study研究总体的True Effect Size服从正态分布，那么就可以使用Random Effect Model来对Combined Effect Size进行估算。

所谓True Effect Size指的是，设想有一个Study，研究总体时所抽取的样本规模不断扩大，扩大到总体全集时，该Study得出的Effect Size就称作True Effect Size。但是，Study的采样规模是不可能覆盖总体全集的，于是，Study研究得出的Effect Size就称作Observed Effect Size。Observed Effect Size与True Effect Size之间的差距是由Sample Error造成的。


4.2 Fixed Effect Model的演算
Fixed Effected Model假设各个Study研究总体的True Effect Size相等。对总体均值的估计通过所谓逆方差法来计算，即：

其中,M是最终计算结果，表示Combined Effect Size；Yi表示Studyi的Effect Size；Wi是赋予Studyi的权重；VYi表示Studyi的方差。逆方差法的本质在于为方差越小的Study赋予越高的权值，认为方差越小的Study的研究结果越具有价值。

总体方差的估计值为各Study权值和的倒数，即：

其中，SEM表示标准差。

有了Combined Effect Size作为正态分布均值，以及方差，就唯一确定了一个正态分布，作为Fixed Effect Model的计算结果，是一个对总体的正态估计。

4.3 Random Effect Model的演算
Fixed Effected Model把每个Study的Observed Effect Size作为一次在正态总体上的采样来估计正态总体。相对的，Random Effected Model认为每个Study的True Effect Size都不相同，但是每个Study的True Effect Size都是对同一正态总体的采样。Study的Observed Effect Size是对采样值Study True Effect Size的二次采样。Random Effected Model就是要解决如何通过二次采样值估算正态总体分布的问题。

计算的总体思想不变，还是通过带权的平均值估算正态总体的均值，通过权值和的倒数估算正态总体的方差：


不同点在于Study的Observed Effect Size不能直接作为正态总体的采样来估计总体分布。各个Study的True Effect Size本身就是正态总体的采样值，我们需要修正这一误差：

其中，VYi是Studyi的方差；Τ2（大写Tau的平方）表示Study间的方差的估计值。设想我们知道各个Study的True Effect Size，并且计算它们的方差，我们将得到Study间方差，记作：τ2（小写Tau的平方）。显然我们无法知道每个Study的True Effect Size，于是，我们只能使用τ2的估计值，记作Τ2。

估计τ2的方法有多种，最常用的一种称作DerSimonian and Laird法（也叫method of moments），具体如下。令：

其中，Q、df和C的计算公式分别为：

而k代表Study的总数。