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重温小时候的“数学归纳法”(From:维基百科)

 
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摘取自维基百科:

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%BD%92%E7%BA%B3%E6%B3%95

 

数学归纳法Mathematical Induction,通常简称为MI)是一种数学证明方法,通常被用于证明某个给定命题在整个(或者局部)自然数范围内成立。虽然数学归纳法名字中有“归纳”,但是数学归纳法并不是不严谨归纳推理法,它是属于完全严谨的演绎推理法

 

 

定义

最简单和常见的数学归纳法是证明当 n 等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步:

骨牌一个接一个倒下,就如同一个值到下一个值的过程。
  1. 证明当 n = 1 时命题成立。
  2. 证明如果在 n = m 时命题成立,那么可以推导出在 n = m+1 时命题也成立。(m 代表任意自然数)

这种方法的原理在于:首先证明在某个起点值时命题成立,然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明,那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如:你有一列很长的直立着的多米诺骨牌,如果你可以:

  1. 证明第一张骨牌会倒。
  2. 证明只要任意一张骨牌倒了,那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。

那么便可以下结论:所有的骨牌都会倒。

例子

假设我们要证明下面这个公式(命题):

1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}

其中 n 为任意自然数。这是用于计算前 n 个自然数的和的简单公式。证明这个公式成立的步骤如下。

第一步

第一步是验证这个公式在 n = 1 时成立。我们有左边 = 1,而右边 = 1(1 + 1) / 2 = 1,所以这个公式在 n = 1 时成立。第一步完成。

第二步

第二步我们需要证明如果假设 n = m 时公式成立,那么可以推导出 n = m+1 时公式也成立。证明步骤如下。

我们先假设 n = m 时公式成立。即

1 + 2 + \cdots + m = \frac{m(m + 1)}{2} (等式 1)

然后在等式等号两边分别加上 m + 1 得到

1 + 2 + \cdots + m + (m + 1) = \frac{m(m + 1)}{2} + (m+ 1) (等式 2)

这就是 n = m+1 时的等式。我们现在需要根据等式 1 证明等式 2 成立。通过因式分解合并,等式 2 的右手边


= \frac{m(m + 1)}{2} + \frac{2(m + 1)}{2}
= \frac{(m + 2)(m + 1)}{2}
= \frac{(m + 1)(m + 2)}{2}
= \frac{(m + 1)[(m + 1) + 1]}{2}.

也就是说

1 + 2 + \cdots + (m + 1) = \frac{(m + 1)[(m + 1) + 1]}{2}

这样便证明了从 P(m) 成立可以推导出 P(m+1) 也成立。证明至此结丛,结论:对于任意自然数 n,P(n) 均成立。

解释

在这个证明中,归纳推理的过程如下:

  1. 首先证明 P(1) 成立,即公式在 n = 1 时成立。
  2. 然后证明从 P(m) 成立可以推导出 P(m+1) 也成立。(这里实际应用的是演绎推理法)
  3. 根据上两条从 P(1) 成立可以推导出 P(1+1),也就是 P(2) 成立。
  4. 继续推导,可以知道 P(3)成立。
  5. 从 P(3) 成立可以推导出 P(4) 也成立。
  6. 不断重复推导下一命题成立的步骤。(这就是所谓“归纳”推理的地方)
  7. 我们便可以下结论:对于任意自然数 n,P(n) 成立。

 

 

 

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