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最短路径--------Floyd算法剖析

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QQ :375061590

 

用到两个重要矩阵:

 

         1.d[numVex][numVex]  (numVex图的顶点数):最开始该矩阵就是图的邻接矩阵,经过Floyd算法处理开后,d[numVex][numVex]中的d[i][j],表示着从顶点i到j的最短路径的权重。

 

         2.p[numVex][numVex]:p[i][j]表示从i到j的最短路径上 i的后继,例如1到5最短路劲为1-2-4-5  那么p[1][5]==2 ,最开始构建的p矩阵中p[i][j]= j

 

算法核心思想:  三圈for循环

 

for (int k = 0; k < graph.getNumVex(); k++) {

 

                     for (int v = 0; v < graph.getNumVex(); v++) {

 

                            for (int w = 0; w < graph.getNumVex(); w++) {

 

                                   if (d[v][w] > d[v][k] + d[k][w]) {

 

                                          d[v][w] = d[v][k] + d[k][w];

 

                                          p[v][w] = p[v][k];// p[v][w]v--w最短路径上 v的下一顶点

 

                                   }

 

                            }

 

                     }

 

              }

 

第一层 k是作为中间顶点

 

第二层 v是作为起始顶点

 

第三层 w是作为终点顶点

 

 

 

内层核心代码

 

v为起点,w为终点,再以k作为vw之间的中间点,去判断d[v][ w]d[v][k] + d[k][w]的大小关系,如果d[v][w] > d[v][k] + d[k][w],说明找到从v→w的更短路径了,此时更改d[v][w]的值为d[v][k] + d[k][w]

 

 

 

p[v][w]的值也要相应改成p[v][k]的值,因为 p[v][k]的值是v→k最短路径上v的后继顶点,而v→w这段最短路径是连接在v→k这段路径后面的,所以令所当然p[v][w]也要指向p[v][k]

 

注意:最外层的k循环,前面的n此循环的结果跟后面n+1次循环的错做过程是息息相关,

 

       三次循环完成后,各个顶点之间的最短路径权重会存储在d矩阵中:d[i][j]表示i→j的最短路径权重。

 

p中则存储着路径上的顶点,如果把i→j最短路径上的顶点列出来呢?

代码:

 

//start→end 最短路径上的顶点

 

StringBuilder path = new StringBuilder();

 

int index = start;//起始点

 

path.append(start + " → ");

 

 

 

              while (index != end) {

 

              //循环取出路径上的各个顶点

 

                     index = p[index][end];

 

                     if(index != end){

 

path.append(index + " →");

 

}

 

                    

 

              }

 

用一个while循环循环 index = p[index][end];直到达到终点

 

假设该最短路径为 start→A→B→C→end

 

则执行过程是:

 

index = p[start][end]; →A

 

path== start→A →

 

 

 

index = p[A][end]; →B

 

path== start→A →B →

 

 

 

index = p[B][end]; →C

 

path== start→A →B →C→

 

 

 

index = p[C][end]; →end

 

path== start→A →B →C→end

 

 

 

这个就是p矩阵的妙处

 

 

 

 

 

 

 

测试:

 

图:



 

 

请输入定点的数目:5
顶点数为:5
请输入边数:7
边数为:7
请输入(Vi,Vj)上下标i 和  j,以及权重,用逗号隔开
0,1,5
0,4,7
1,2,4
4,2,8
1,3,2
2,3,6
4,3,1
初始的d矩阵
 
0 5 9999 9999 7
 
5 0 4 2 9999
 
9999 4 0 6 8
 
9999 2 6 0 1
 
7 9999 8 1 0
 
初始的p矩阵
 
0 1 2 3 4
 
0 1 2 3 4
 
0 1 2 3 4
 
0 1 2 3 4
 
0 1 2 3 4
 
处理后的d矩阵
 
0 5 9 7 7
 
5 0 4 2 3
 
9 4 0 6 7
 
7 2 6 0 1
 
7 3 7 1 0
 
处理后的p矩阵
 
0 1 1 1 4
 
0 1 2 3 3
 
1 1 2 3 3
 
1 1 2 3 4
 
0 3 3 3 4
 
求最短路径
请输入起点:
0
请输入终点:
2
从0到2的最短路径为9
该路劲为:0 → 1 →2
是否继续计算其他最短路径 Y/N?
y
求最短路径
请输入起点:
0
请输入终点:
3
从0到3的最短路径为7
该路劲为:0 → 1 →3
是否继续计算其他最短路径 Y/N?
y
求最短路径
请输入起点:
4
请输入终点:
1
从4到1的最短路径为3
该路劲为:4 → 3 →1
是否继续计算其他最短路径 Y/N?
y
求最短路径
请输入起点:
2
 
请输入终点:
4
从2到4的最短路径为7
该路劲为:2 → 3 →4
是否继续计算其他最短路径 Y/N?

 

源代码:

 

package DataStructure;

import java.util.Scanner;

public class Floyd {
	private Graph graph;
	private int[][] d;// 用来存储顶点到顶点之间最短路径的权重
	private int[][] p;// p[1][5]表示1到5的最短路径上 1的后继,例如1到5最短路劲为1-2-4-5 那么p[1][5]==2

	public Floyd() {
		this.graph = new Graph();
		d = graph.getArc();
		p = new int[graph.getNumVex()][graph.getNumVex()];
		initP();// 初始化矩阵p
		System.out.println("初始的d矩阵\n");
		for (int i = 0; i < graph.getNumVex(); i++) {
			for (int j = 0; j < graph.getNumVex(); j++) {
				System.out.print(d[i][j] + " ");
			}
			System.out.println("\n");
		}
		System.out.println("初始的p矩阵\n");
		for (int i = 0; i < graph.getNumVex(); i++) {
			for (int j = 0; j < graph.getNumVex(); j++) {
				System.out.print(p[i][j] + " ");
			}
			System.out.println("\n");

		}
		work();
		
		System.out.println("处理后的d矩阵\n");
		for (int i = 0; i < graph.getNumVex(); i++) {
			for (int j = 0; j < graph.getNumVex(); j++) {
				System.out.print(d[i][j] + " ");
			}
			System.out.println("\n");
		}
		
		System.out.println("处理后的p矩阵\n");
		for (int i = 0; i < graph.getNumVex(); i++) {
			for (int j = 0; j < graph.getNumVex(); j++) {
				System.out.print(p[i][j] + " ");
			}
			System.out.println("\n");
		}
	}

	/**
	 * 初始化p矩阵
	 * 
	 */
	private void initP() {
		for (int i = 0; i < graph.getNumVex(); i++) {
			for (int j = 0; j < graph.getNumVex(); j++) {
				p[i][j] = j;
			}
		}
	}

	/**
	 * 对d和p进行变化
	 * 
	 */
	private void work() {
		for (int k = 0; k < graph.getNumVex(); k++) {
			for (int v = 0; v < graph.getNumVex(); v++) {
				for (int w = 0; w < graph.getNumVex(); w++) {
					if (d[v][w] > d[v][k] + d[k][w]) {
						d[v][w] = d[v][k] + d[k][w];
						p[v][w] = p[v][k];// p[v][w]是v--w最短路径上 v的下一顶点
					}
				}
			}
		}
	}

	/**
	 * 获取最短路劲
	 * 
	 */
	public void getShortestPath(int start, int end) {
		StringBuilder path = new StringBuilder();
		int index = start;// 起始点
		path.append(start + " → ");

		while (index != end) {
			// 循环取出路径上的各个顶点
			index = p[index][end];
			if (index != end) {
				path.append(index + " →");
			}else {
				path.append(index);
			}

		}

		System.out.println("从" + (start) + "到" + (end) + "的最短路径为"
				+ d[start][end] + "\n该路劲为:" + path.toString());
	}

	public static void getShortestPath(Floyd floyd) {
		Scanner scanner = new Scanner(System.in);
		System.out.println("求最短路径\n请输入起点:");
		int start = scanner.nextInt();
		System.out.println("请输入终点:");
		int end = scanner.nextInt();
		floyd.getShortestPath(start, end);
		System.out.println("是否继续计算其他最短路径 Y/N? ");
		String tag = scanner.next();
		if (tag.toLowerCase().equals("y")) {
			getShortestPath(floyd);
		}

	}

	/**
	 * 图内部类
	 * 
	 * @author ccf
	 * 
	 */
	class Graph {
		/**
		 * 定点数
		 * 
		 */
		private int numVex = 0;
		private int arc[][] = null;
		private int numEdge = 0;
		private final int INFINITY = 9999;

		public Graph() {
			System.out.print("请输入定点的数目:");
			Scanner scanner = new Scanner(System.in);
			this.numVex = scanner.nextInt();
			arc = new int[numVex][numVex];
			for (int i = 0; i < numVex; i++) {
				for (int j = 0; j < numVex; j++) {
					arc[i][j] = INFINITY;
				}
			}
			for (int i = 0; i < numVex; i++) {
				arc[i][i] = 0;

			}
			System.out.println("顶点数为:" + this.numVex);
			System.out.print("请输入边数:");
			scanner = new Scanner(System.in);
			this.numEdge = scanner.nextInt();
			System.out.println("边数为:" + this.numEdge);

			System.out.println("请输入(Vi,Vj)上下标i 和  j,以及权重,用逗号隔开");
			for (int i = 1; i <= numEdge; i++) {
				scanner = new Scanner(System.in);
				String a = scanner.nextLine();
				String[] b = a.split(",");
				// System.out
				// .println("输入了:" + Integer.parseInt(b[0]) + " "
				// + Integer.parseInt(b[1]) + " "
				// + Integer.parseInt(b[2]));
				arc[Integer.parseInt(b[0])][Integer.parseInt(b[1])] = Integer
						.parseInt(b[2]);
				arc[Integer.parseInt(b[1])][Integer.parseInt(b[0])] = Integer
						.parseInt(b[2]);

			}
			
		}

		public int[][] getArc() {
			return arc;
		}

		public int getNumVex() {
			return numVex;
		}

	}

	public static void main(String[] args) {
		Floyd floyd = new Floyd();
		getShortestPath(floyd);
	}

}

 

 

 

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