CSDN上某人的数学猜想

原帖内容：

 

这是本人读高中时发现的一个数学猜想,一直不能证明或推翻

任何一个不能被3整除的偶数，如488，按下列步骤：
若该数为偶数，则把它各个位数之和的平方作为新数；若该数为奇数则各个位数之和的立方作为新数，再把那个新数重复以上步骤(偶数就各位数之和平方,奇数就各位数之和立方)，一步步计算下去,肯定能在9步内变为1!
如：
  488(偶)    4+8+8=20      20*20=400
  400(偶)    4+0+0=4      4*4=16
  16(偶)    1+6=7        7*7=49
  49(奇)    4+9=13        13*13*13=2197
  2197(奇)  2+1+9+7=19    19*19*19=6859
  6859(奇)  6+8+5+9=28    28*28*28=21952
  21952(偶)  2+1+9+5+2=19  19*19=361
  361(奇)    3+6+1=10      10*10*10=1000
  1000(偶)  1+0+0+0=1    1*1=1
  1
      共9步
哪位高手能证明或推翻它？？

 

227楼牛人证明：

 

很容易证明啊。
9步容易证明不成立，或者可以构造法给出反例，好像前面已经有人举出反例了，这里不赘述了。
改为有限步，给个简洁证明如下，不一定对，请指正。

第i步变换结果a(i)为完全平方数或者完全立方数，i>=1

子命题1：
存在自然数M，当a(i)>M的时候，a(i+1) <a(i)
假设10^n <=a(i) <10^(n+1)
设A(i)为a(i)各位数之和，则A(i) <=9(n+1)
a(i+1) <=A(i)^3 <=[9(n+1)]^3 <10^n <=a(i)
当n足够大，例如n=10，上式成立
所以子命题1成立，例如存在M=10^10

所以存在j，a(j) <M。
直观的解释，变换足够多次，必然有某次落到范围M以内。

又并且a(j)为完全平方数或者完全立方数。
而M以内的完全平方数或者完全立方数个数有限并且容易计算验证，所以即能证明或者找到反例。

经过程序验证，只有一个数，就是4913，运算不收敛到1.
4913=17^3
所以，假设存在某a(i)的各位数字之和为17，且a(i)为奇数（因为是17的立方）。
因为任何数被3除的余数与它各位数字之和被3除的余数相同。
所以，该a(i)被3除余数为2。
因为a(i)是完全平方数或者完全立方数，所以a(i)为完全立方数（因为任何完全平方数被3除不可能余数是2），
并且a(i)的立方根被3除余2.
a(i)的立方根也就是a(i-1)的各位数字之和，所以a(i-1)被3除余2. 并且a(i-1)为奇数（因为是立方）。
同理可得a(i-2)被3除余2. 并且a(i-2)为奇数。
依次类推到a(0)为奇数，与原命题a(0)为偶数矛盾。
所以上述a(i)不存在。

所以原命题成立。
证毕。

我的感想：

      首先楼主有这么牛的猜想非常的了不起，尤其还是在高中的时候。只是不知道题目中的一些限制条件是怎么想到的，不会真的是一点一点尝试出来的吧。不过在我看到题目的时候最想不明白的就是这个9步是如何来的。其实原因非常的简单，9步变到1，这个是不可能的，别说是个位数相加后还要求平方和立方，就是对每次都求和来说，只要数字足够的大，想把结果收敛到个位也是不可能的。因为对于任意一个正数，一定可以找到无穷个对应的正数，使后者的各位数字之和等于前者。想找到一个10以上才能收敛到1的数字实在是非常的容易。

      其次说下227楼的证明，确实很厉害。思路清晰，也没有用什么高深的知识，确实非常的令人佩服。不过我们也应该同时看到，计算机在解决这个题目中也起到了很重要的作用，单说想找到这个4913，如果不借助计算机而靠人力，不知道要费多少的时间。还有就是问题中提到的收敛区间，这个也可以非常简单的用227楼的思路找到，这个区间应该是2位数（各位数字相加的结果是2位数）。因为如果是3位数的话，那么最小也是100，假设想加前的数字各位数字都尽量取9（主要是为了减少位数），那么这个数字也至少要12位，而999的3次方也不过才12位，更何况当和是999的时候，想加前的数字至少有111位了。所以只要证明2位数这个范围内的结论成立即可！