位运算及简单应用

各种位运算的使用

=== 1. and运算 ===

and运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 and 1的结果就是取二进制的最末位。这可以用来判断一个整数的奇偶，二进制的最末位为0表示该数为偶数，最末位为1表示该数为奇数.

=== 2. or运算 ===

or运算通常用于二进制特定位上的无条件赋值，例如一个数or 1的结果就是把二进制最末位强行变成1。如果需要把二进制最末位变成0，对这个数or 1之后再减一就可以了，其实际意义就是把这个数强行变成最接近的偶数。

=== 3. xor运算 ===

异或的符号是⊕。　　xor运算通常用于对二进制的特定一位进行取反操作，因为异或可以这样定义：0和1异或0都不变，异或1则取反。　　xor运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即(a xor b) xor b = a。xor运算可以用于简单的加密，比如我想对我MM说1314520，但怕别人知道，于是双方约定拿我的生日19880516作为密钥。1314520 xor 19880516 = 20665500，我就把20665500告诉MM。MM再次计算20665500 xor 19880516的值，得到1314520，于是她就明白了我的企图。　　下面我们看另外一个东西。定义两个符号#和@（xor=⊕），这两个符号互为逆运算，也就是说(x # y) @ y = x。现在依次执行下面三条命令，结果是什么？　　x <- x # y　　y <- x @ y　　x <- x @ y　　执行了第一句后x变成了x # y。那么第二句实质就是y <- x # y @ y，由于#和@互为逆运算，那么此时的y变成了原来的x。第三句中x实际上被赋值为(x # y) @ x，如果#运算具有交换律，那么赋值后x就变成最初的y了。这三句话的结果是，x和y的位置互换了。　　加法和减法互为逆运算，并且加法满足交换律。把#换成+，把@换成-，我们可以写出一个不需要临时变量的swap过程(Pascal)。　　procedure swap(var a,b:longint);　　begin　　a:=a + b;　　b:=a - b;　　a:=a - b;　　end;　　好了，刚才不是说xor的逆运算是它本身吗？于是我们就有了一个看起来非常诡异的swap过程：　　procedure swap(var a,b:longint);　　begin　　a:=a xor b;　　b:=a xor b;　　a:=a xor b;　　end;　　       注意：位运算版本的交换两数不适用于一个数的自我交换。也就是说，如果上述程序的“b”改成“a”的话，其结果是变量a变成零。因此，在使用快速排序时，由于涉及到一个数的自我交换，因此如果要在其中使用位运算版的交换两数的话，应该先判断。具体的时间损耗在此略过。

=== 4. not运算 ===

not运算的定义是把内存中的0和1全部取反。使用not运算时要格外小心，你需要注意整数类型有没有符号。如果not的对象是无符号整数（不能表示负数），那么得到的值就是它与该类型上界的差，因为无符号类型的数是用00到$FFFF依次表示的。下面的两个程序（仅语言不同）均返回65435。　　var　　a:word;　　begin　　a:=100;　　a:=not a;　　writeln(a);　　end.　　#include <stdio.h>　　int main()　　{　　unsigned short a=100;　　a = ~a;　　printf( "%d\n", a );　　return 0;　　}　　如果not的对象是有符号的整数，情况就不一样了，稍后我们会在“整数类型的储存”小节中提到。

=== 5. shl运算 ===

a shl b就表示把a转为二进制后左移b位（在后面添b个0）。例如100的二进制为1100100，而110010000转成十进制是400，那么100 shl 2 = 400。可以看出，a shl b的值实际上就是a乘以2的b次方，因为在二进制数后添一个0就相当于该数乘以2。　　通常认为a shl 1比a * 2更快，因为前者是更底层一些的操作。因此程序中乘以2的操作请尽量用左移一位来代替。　　定义一些常量可能会用到shl运算。你可以方便地用1 shl 16 - 1来表示65535。很多算法和数据结构要求数据规模必须是2的幂，此时可以用shl来定义Max_N等常量。

=== 6. shr运算 ===

　　和shl相似，a shr b表示二进制右移b位（去掉末b位），相当于a除以2的b次方（取整）。我们也经常用shr 1来代替div 2，比如二分查找、堆的插入操作等等。想办法用shr代替除法运算可以使程序效率大大提高。最大公约数的二进制算法用除以2操作来代替慢得出奇的mod运算，效率可以提高60%。

 

 

位运算的简单应用

有时我们的程序需要一个规模不大的Hash表来记录状态。比如，做数独时我们需要27个Hash表来统计每一行、每一列和每一个小九宫格里已经有哪些数了。此时，我们可以用27个小于2^9的整数进行记录。例如，一个只填了2和5的小九宫格就用数字18表示（二进制为000010010），而某一行的状态为511则表示这一行已经填满。需要改变状态时我们不需要把这个数转成二进制修改后再转回去，而是直接进行位操作。在搜索时，把状态表示成整数可以更好地进行判重等操作。这道题是在搜索中使用位运算加速的经典例子。以后我们会看到更多的例子。　　下面列举了一些常见的二进制位的变换操作。　　功能 | 示例 | 位运算　　----------------------+---------------------------+--------------------　　去掉最后一位 | (101101->10110) | x shr 1　　在最后加一个0　| (101101->1011010) | x shl 1　　在最后加一个1　| (101101->1011011) | x shl 1+1　　把最后一位变成1　| (101100->101101) | x or 1　　把最后一位变成0　| (101101->101100) | x or 1-1　　最后一位取反 | (101101->101100) | x xor 1　　把右数第k位变成1 | (101001->101101,k=3) | x or (1 shl (k-1))　　把右数第k位变成0 | (101101->101001,k=3) | x and not (1 shl (k-1))　　右数第k位取反　| (101001->101101,k=3) | x xor (1 shl (k-1))　　取末三位 | (1101101->101) | x and 7　　取末k位　| (1101101->1101,k=5) | x and (1 shl k-1)　　取右数第k位　| (1101101->1,k=4) | x shr (k-1) and 1　　把末k位变成1　| (101001->101111,k=4) | x or (1 shl k-1)　　末k位取反 | (101001->100110,k=4) | x xor (1 shl k-1)　　把右边连续的1变成0 | (100101111->100100000) | x and (x+1)　　把右起第一个0变成1 | (100101111->100111111) | x or (x+1)　　把右边连续的0变成1 | (11011000->11011111) | x or (x-1)　　取右边连续的1 | (100101111->1111) | (x xor (x+1)) shr 1　　去掉右起第一个1的左边 | (100101000->1000) | x and (x xor (x-1))　　最后这一个在树状数组中会用到。　　Pascal和C中的16进制表示　　Pascal中需要在16进制数前加$符号表示，C中需要在前面加0x来表示。这个以后我们会经常用到。