优秀课件笔记之离散数学学习指导手册

前言

1、本文所以内容来自 著名高校课件和学生笔记（校园里面经常见到有人高价买笔记）
2、任课教师不会提供参考文献，所以只能对作者表示感谢，如果引用了您的作品，可以用回复方式补充参考文献。
3、我不对文章无关问题进行解答，文章内容也比较难，我也很难解答您遇到的问题，如果发现BUG可以用回复方式帮我修正。

4、本指导手册是作为教材《离散数学》(左孝凌等编著，上海科学技术文献出版社出出版)的学习辅导书，以帮助学生学习《离散数学》。

第一章命题逻辑

一.基本要求

1.正确理解命题、简单命题(原子命题)、复合命题、命题常元、命题变元、合式公式、重言式、矛盾式、可满足式、赋值、真值、等价、联结词、对偶、范式、小项、大项、逻辑推论、逻辑结论等概念；

2.能正确将命题符号化；

3.能熟练掌握用真值表分析命题、证明命题的方法；

4.理解并识记等价公式表与推理定律表；

5.能熟练运用等价公式将一个命题公式化为与其等价的主析取范式和主合取范式；

6.能熟练运用等价公式和推理定律进行逻辑推理；

7.熟练掌握命题推理理论的证明方法：真值表法、直接法、间接法（归谬法和CP规则法）等

二.重点、难点

重点：1.命题的定义；

2.命题的符号化(翻译)；

3.真值表方法；

4.重言式和矛盾式；

5.等价公式；

6.合式公式化为主析取范式和主合取范式；

7.推理定律；

8.逻辑推理方法。

难点：1.命题的定义；

2.命题的符号化；

3.命题的赋值；

4.命题公式的可满足性；

5.联结词的全功能集和极小全功能集；

6.合式公式的定义；

7.对偶式和范式的作用和等价变换；

8.逻辑推理定律：假言推理、拒式、析取三段论、假言三段论、等价三段论和构造性二难推论；

9.重言式和逻辑推论的关系、重言式和等价的关系、等价和重言式的关系；

10.逻辑证明方法。

三.要点点拔

1.命题必须是能判断真假的陈述句。感叹句、疑问句和祈使句等都不是命题。

2.命题只有真值，命题只有真值，命题的真值有真和假两种，但命题没有“假”。

3.将命题符号化时注意将“不是”、“不能”、“如果…则”、“并且”、“或者”、“既…又”、“不仅…而且”、“虽然…但是”、“只有…才”、“只要…就”、“当且仅当”等词语转化为相应的联结词。

但要注意自然语言中的一些联结词如“与”、“且”、“或”、“除非…则”等联结词都有其具体含义，因此需分别根据不同情况翻译成适当的逻辑联结词。例如：“除非天气好，否则我是不会去公园的”，这个句子的实际含义是，我去公园必定是天气好，至于天气好是否去公园，在命题中并未提及。所以天气好是去公园的必要条件。另外在这个命题中，没有提出天气好和去公园的具体时间，因此仅按字面意义去列出原子命题，就将出现不完整的陈述句，实际上在叙述这个命题时是有着特定的时间，例如可设原子命题P，表示今天天气好，而不是设P为天气好。因此，这个命题可符号化为：设P：今天天气好。Q：我去公园。Q→P。又如：“我看书或看电影”，这里的“或”是不可兼的，不能直接用析取联结词。

为了便于正确表达命题间的相互关系，有时也常常采用列出真值表的方法，进一步分析各原子命题，以寻找逻辑联结词，使原来的命题能够正确地用形式符号予以表达。

4.注意联结词在合式公式中的优先级顺序，在适当的地方运用括号保证逻辑运算的正确性。

5.合式公式的定义是以递归的形式给出的，其中(1)称为基础，(2)(3)称为归纳，(4)称为界限。注意判别什么是合法的合式公式。

6.合式公式没有真值，只有合式公式中所有的命题变元都用具体的命题去替代时，合式公式才能确定真值。

7.一个联结词的极小全功能集，其功能完备是指对任何命题公式，可用极小全功能集中所包含的联结词所组成的等价式表达，而极小全功能集中，删除任何一个联结词，就不能把所有命题公式表达出来。或者极小全功能集中的联结词能将不在极小全功能集中的联结词用等价的式子表示出来，并且极小全功能集中的联结词去掉任何一个都不能等价地表示其余的所有联结词。

8.求给定命题公式的主析取范式与主合取范式，通常有两种方法，即列表法和公式推导法：

(1)列表法

列出给定公式的真值表，其真值为1的指派所对应的小项的析取即为此公式的主析取范式。同理，其真值为0的指派所对应的大项的合取，即为此公式的主合取范式。注意在表示大项式原子变元的取法和小项相反。如：

P	q	r	p∧q	p∧q∨r
0	0	1	0	1
0	1	0	0	0

此行所对应的小项为┐p∧┐q∧r，大项为p∨┐q∨r。

(2)公式推导法

在应用公式推导法时，首先要将公式中的蕴涵联结词(条件联结词)和等价联结词(双条件联结词)化去，使整个公式化为析取范式，然后删去其中所有的永假析取项，再将析取式中重复出现的合取项和相同的变元合并，最后对合取项添加没有出现的命题变元，就是合取(p∨┐p)，经过化简整理，即可得到主析取范式。

对于求主合取范式的方法，基本上与上述相同，只是在开始时，将公式化归为合取范式，在添加项时，要析取永假式(p∧┐p)，此外，利用主范式的编码方法，在求出主析取范式的编码后，可立即写出主合取范式的编码。对于给定n个变元的命题公式，其∑和∏对应的编码其有2n项。同样，在应用编码表达时，需特别注意大项编码对应的指派与小项编码对应的指派情况相

9.用推理规则进行逻辑论证，可用直接证明和间接证明(P附加前提和归谬法)等不同方法，在对问题论证前，必须先列出前提和结论，对于直接证法，首先假设前提为真，推证结论为真。对于间接证法，一般有两种方法：把结论的否定作为附加前提，推证它与前提不相容；另一种方法是当结论为条件式(p→q)时，可把条件式的前件p作为附加前提，以推证条件式的后件为真，这也称为CP规则。

在应用推理规则证明时，需特别注意的是在推证每一步时，只能应用假设前提或者根据给定的等价公式表和推理定律，以有在前面每步推证所得到的结果。只有这些可作为推证的根据，除此之外都不能作为推证的依据。特别是不能象等价推演时可省略一些推证步骤，否则都要视为推理证明的逻辑错误。

思考题：1.命题逻辑的基础是什么？

2.命题逻辑有什么局限性？

3.命题符号化的意义是什么？

第二章谓词逻辑

一．基本要求

1.正确理解谓词、n元谓词、命题函数、复合命题函数、个体域、全总个体域、项、全称量词、存在量词、特性谓词、原子公式、指导变元、闭式、约束变元、自由变元、量词的作用域、赋值、有效等概念；

2.能正确应用谓词对命题进行符号化(翻译)；

3.能正确地将谓词公式化为与其等价的前束合取范式和前束析取范式；

4.能正确理解并识记谓词逻辑的等价式；

5.能理解并识记谓词逻辑的推理定律；

6.熟练掌握谓词逻辑推理的UG规则、UI规则、EG规则和EI规则；

7.能熟练运用谓词逻辑的推理理论进行逻辑推理。

二．重点、难点

重点：1.谓词的定义；

2.命题函数；

3.谓词公式和命题的符号化；

4.全称量词和存在量词；

5.谓词逻辑的等价式；

6.前束析取范式和前束合取范式；

7.谓词逻辑的推理理论。

难点：1.n元谓词的概念；

2.约束变元与自由变元；

3.用谓词对命题进行符号化；

4.前束合取范式和前束析取范式；

5.量词与联结词的结合；

6.谓词逻辑的等价式与推理定律；

7.谓词逻辑推理的UG规则、UI规则、EG规则和EI规则及其应用。

三．要点点拔

1.对于有n个变元的谓词，如果有m个变元受到约束，则称该谓词为(n-m)元谓词，原因是可以把受到约束的变元看作函数中的常数，如f(a,x,y)，a为常数，则f为二元函数。

2.一元谓词描述客体的性质，而多元谓词则描述了客体之间的关系，如“身高(x)”表示x的身高这一性质，而“大于(x,y)”则表示了客体x和y之间的一种比较关系。

3.量词前面的否定不是否定该量词，而是否定被量化了的整个命题。如┐($x)A(x)表示不存在满足性质A的客体，即对所有的客体都不满足性质A，因此，┐($x)A(x)Û("x)┐A(x)。

4.谓词逻辑等价式中的所有变化都源于否定联结词和量词的结合使整个命题发生了变化，即以下两个等价公式是所有谓词逻辑等价公式的核心：

┐($x)A(x)Û("x)┐A(x)

┐("x)A(x)Û($x)┐A(x)

5.全称量词与存在量词在公式中出现的次序不能随意调换，例如：设A(x,y)表示x和y同姓，x的论域是甲村人，y的论域是乙村人，则("y)($x)A(x,y)表示对于乙村所有的人，甲村都有人和他同姓，而($x)("y)A(x,y)表示存在一个甲村的人，乙村所有的人都和他同姓。有如下关系：($x)("y)A(x,y)Þ("y)($x)A(x,y)。

6.用谓词谓词表达式符号化命题，首先要注意到带有量词的各种情况。由于全称量词的否定与存在量词之间的联系，我们可以把同一命题用不同量词的形式表达，如“没有不犯错误的人”可解释为：“只要是人，必然会犯错误”，或者也可解释为：“存在不犯错误的人是不可能的”。这两种不同的解释，在前者是对“所有的人”，即("x)E(x)，这里，E(x)为x会犯错误。而在后者是对“存在”某个人的否定即┐($x)C(x)，这里，C(x)为x永远正确。

其次在应用谓词对命题符号化的过程中，由于汉语上的习惯用法，可以对某些客体予以省略，而在符号化时，为了表达清晰，必须予以补充明确。如“发光的不都是金子”实际上指“发光的东西不都是金子”。这里论述的客体是“发光的东西”而不是“发光的”。

此外，对于用谓词符号化命题时，需要注意的是刻画客体属性的深度问题。例如命题

“在上海高校学习的学生未必都是上海籍的学生”。

该命题中，“在上海高校学习的学生”可以作为一个谓词来刻画，也可以把它分解为“在上海的学生”以及“是在高校学习的学生”这两个谓词。同理，“是上海籍的学生”这个谓词，可以加深刻画为“是学生”和“是上海籍的人”这两个谓词的合取式。在符号化命题的过程中，刻画谓词的深度将由题目要求确定，有时为了强调客体的某些属性，在符号化过程中，就需要将这些特殊的属性单独列成谓词予以描述。

7.将谓词公式化为一个与其等价的前束范式时，可按如下步骤进行：

(1)取消多余量词；

(2)换名；

(3)消去蕴涵联结词；

(4)利用量词转化公式将否定联结词深入到命题变元和谓词填式的前面，这一步是最关键的；

(5)利用($x)(A∧B(x))ÛA∧($x)B(x)

和("x)(A∨B(x))ÛA∨("x)B(x)把量词移到全式的最前面。

通过以上步骤就可以得到一个与原式等价的前束范式。

我们用一个例子来说明之个方法：

例：将D:("x)[("y)P(x)∨("z)Q(z,y)→┐("y)R(x,y)]化为与它等价的前束合取范式。

解：第一步取消多余量词

DÛ("x)[P(x)∨("z)Q(z,y)→┐("y)R(x,y)]

第二步换名

DÛ("x)[P(x)∨("z)Q(z,y)→┐("w)R(x,w)]

第三步消去蕴涵联结词

DÛ("x)[┐(P(x)∨("z)Q(z,y))∨┐("w)R(x,w)]

第四步将┐深入

DÛ("x)[(┐P(x)∧($z)┐Q(z,y))∨($w)┐R(x,w)]

第五步将量词推到左边

DÛ("x)($z)($w)[(┐P(x)∧┐Q(z,y))∨┐R(x,w)]

Û("x)($z)($w)[(┐P(x)∨┐R(x,w))∧(┐Q(z,y))∨┐R(x,w)]]

8.在对带量词的谓词公式进行逻辑推证时，最关键的地方是要正确使用UG、UI、EG、EI这几个消除量词和扩张量词的规则。其基本思路是：首先利用UI和EI规则消去量词，这样就可以直接利用命题逻辑的证明方法往下推证，在得到需要的结果后使用UG规则和EG规则扩张量词，以得到结论或使用谓词逻辑等价式和推理定律进行推证。但需要注意的是，在应用UI和EI进行量词指定时UI和EI的先后次序，如先指定($x)中的x后，("x)中的x可以随意指定，但如果先指定("x)中的x后，($x)中的x就不能任意作特称指定。所以一般情况下均是先用EI规则再用UI规则。

思考题：1.谓词逻辑和命题逻辑有什么联系？

2.谓词逻辑有何局限性？

3.谓词逻辑系统由哪些元素构成？

第三章集合与关系

一.基本要求

1.正确理解集合的概念；

2.会用不同的方法表示集合；

3.理解元素、子集(合)、真子集、空集、相等、幂集、全集、并集、交集、相对补集、绝对补集、对称差、基数、有穷集、无穷集、序偶、n元组、笛卡尔积、关系、空关系、全域关系、恒等关系、关系的定义域、值域和域、关系的合成、关系的闭包、等价关系、偏序关系、等价类、商集、划分、全序关系等概念；

4.理解并识记集合运算的幂等律、结合律、交换律、分配律、同一律、零律、排中律、矛盾律、吸收律、德∙摩根律和双重否定律；

5.能熟练运用集合的运算定律进行集合的化简和证明；

6.能运用文氏图进行集合运算的表示和证明；

7.能运用包含排斥原理对集合的计数进行分析和求解。

8.会求两个集合的笛卡尔积，理解笛卡尔积运算的性质，并能够运用这些性质进行等式的证明；

9.理解如何用序偶来表示二元关系；

10.能够应用关系图和关系矩阵表示关系，即给定关系要能够写出相应的关系矩阵和关系图；

11.会求两个关系的合成和关系的逆、关系在集合上的限制以及集合在关系下的象；

12.理解关系运算的主要性质(定理4.1，4.2)；

13.会运用关系矩阵和关系图求关系的n次幂，并理解R的n次幂的关系矩阵中元素的值的意义。

14.理解并识记关系的基本性质及其在关系图和关系矩阵中的体现；

15.能够根据关系判断关系的性质；

16.理解关系的自反闭包、对称闭包和传递闭包的定义、对给定的关系、能够求出相应的自反闭包、对称闭包和传递闭包；

17.理解等价关系的定义，并能求出给定关系中的等价类和商集；

18.理解等价关系与集的划分之间的对应关系；

19.理解偏序关系的定义，能够用哈斯图来表示偏序关系，并根据哈斯图找出给定集合的最小上界和最大下界；

二.重点、难点

重点：1.集合及其相关的基本概念；

2.集合运算的11个定律；

3.集合元素的计数。

4.集合的笛卡尔积；

5.序偶和二元关系；

6.应用关系图和关系矩阵表示关系；

7.关系的基本性质(自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性)；

8.关系的闭包运算；

9.等价关系和等价类及其与集合划分的关系；

10.偏序关系及其基本概念；

难点：1.空集、幂集、补集、对称差、基数、有穷集和无穷集的概念；

2.集合的化简和证明；

3.包含排斥原理。

4.关系的性质；

5.关系的闭包；

6.等价关系、等价类及划分；

7.偏序关系及其基本概念；

三．要点点拔

1.集合是一个不能精确定义的基本概念，空集φ和全集E是集合两种特殊情形，但正因为有了两种平凡的情形，集合的定义就完整了。对于空集和全集在集合运算的时候要告别注意，因为空集和全集的出现可以对集合表达式进行化简。

2.集合的表示方法通常有两种：列举法和属性概括法。采用何种方法将视实际需要而定，一般而言，集合的元素没有规律的时候用列举法，如果集合的元素之间有规律，而集合元素的个数很多或无限时，用属性概括法。

3.注意区分φ和{φ}的区别，空集φ是不含任何元素的集合，其基数为0，而{φ}则是以空集为元素的集合，其基数为1；

4.在求一个集合的幂集时，注意不要漏掉φ；

5.证明两个集合相等，可用三种方法：

6.基本法：就是根据集合相等的充要条件是该两个集合互为子集，即

A=BiffAÍB且BÍA

这个定理可以认为是本章及下一章集合证明的主要思想和方法。

(1)公式法：即是由交、并、差、的集合代数性质，通过推演进行集合恒等的证明。

(2)图示法：利用文氏图对给定命题进行说明，这对复杂的集合等式比较困难，但简单的等式还是可用图示法予以说明。图示法是一种辅助证明，一般仅作为直观说明。

7.应用包含排斥原理解决问题，首先要搞清楚讨论的范围是什么？即哪些是全集中的元素，其次需要将全集中的元素分类，然后根据题意列出表达式，为计算方便，可借助于文氏图观察写出相应的计算公式。

8.由于关系是序偶的集合，所以对关系的运算满足集合运算的性质。证明关系相等只要证明两个关系互为子集就行了。本章中几乎所有的关系之间的关系的证明均可运用集合的这一性质进行证明。

9.在证明关系运算的等式时，主要用到关系和有关运算的定义。由于关系经过求逆、合成等运算后得到的仍然是关系，所以只要证明左式中的任一个序偶也属于等式右边的关系，就证明了等式左边的关系和右边的关系相等。

10.关系的性质在关系矩阵和关系图中的有具体的体现。如果关系R是自反的，则其关系矩阵上对角线上的元素都为1，关系图上则每个结点都有自回路；如果R是对称的，则R的关系矩阵是关于主对角线对称的，关系图上的两个结点若有定向弧，则定向弧是成对出现的；如果R是反自反的，当且仅当关系矩阵对角线的元素全为0，关系图上每个结点都没有自回路；如果R是反对称的，当且仅当关系矩阵中以主对角线对称的元素不能同时为1，在关系图上两个不同结点间的定向弧不可能同时出现。如果R是传递的，则关系矩阵和关系图上不好直接判断；

11.需要注意反自反和非自反是两个不同的性质，反对称和非对称也是不同的性质。一个关系可以既是对称的又是反对称的。如R={<1，1>}就是这样的例子。

12.任何A上的自反关系R一定包含了A上的恒等关系，即IAÍR，而A上的反自反关系一定与IA不交，即IA∩R=φ。A上的对称关系R一定满足等式R-1=R，而反对称关系R则满足等式R∩R-1ÍIA。由此可知，如果R既是对称的又是反对称的，则RÍIA，对于传递关系R，有R◦RÍR。

13.关系的闭包运算是用扩充一些序偶的办法得到具有某些特殊性质的新关系。必须注意R的自反(对称，传递)闭包应是包含R的最小自反(对称，传递)关系，因此，具有自反(对称，传递)性质的关系，其自反(对称，传递)闭包就是它本身。

14.对于求关系R的自反(对称，传递)闭包，可以用定理4.4的方法来得到，但对于传递闭包，如果R是定义在有穷集上的关系，如|A|=n，则R的传递闭包为t(R)=R∪R2∪R3∪…Rn。

15.等价关系是一种非常重要的关系，注意等价关系和恒等关系IA是两个不同的概念，千万不能混淆。

16.等价类是由等价关系形成的元素的集合，对于非空集A上的等价关系R，由R产生的等价类的集合即商集A/R就是A的一个划分。如一个班上年龄相同的关系为等价关系，年龄为19岁的学生组成一个等价类，年龄为20岁的学生组成另一个等价类，这样，所有不同年龄的学生组成的等价类就构成了班上学生的一个划分。反之，由非空集A上的划分也可以确定A上的等价关系，具体方法可以看例4.15，即划分和等价关系是一一对应的关系。

17.偏序关系可以理解为一种抽象的不太严格的序关系。其中的全序关系(线序关系)是偏序关系的一个特例，在生活中有大量的应用。如成绩排名就是一种线序关系，因为班上的任意两个学生的成绩都是可比较的。而偏序集中可能存在不可比较的元素，如整数集上的整除关系。

18.要证明一个关系是等价关系或偏序关系，只需要根据等价关系和偏序关系的定义，若证明该关系具有自反性、对称性和传递性，则为等价关系，如证明该关系有自反性，反对称性和传递性，则为偏序关系。

思考题：1.集合的运算符和命题逻辑的联结词之间有何联系？

2.集合有什么性质？

3.关系和函数是怎样通过集合这一基本概念统一起来的？

4.有传递性质的关系具有什么特点？

第四章函数

一．基本要求

1.正确理解函数、满射、单射、双射、常函数、恒等函数、反函数、等势、基数、可数集、不可数集等概念。

2.理解函数的定义，能够分辨函数是否是满射、单射或双射；

3.理解Peano公理；

4.能够求出函数的反函数和多个函数的复合函数。

5.会判断集合的基数；

6.会判断可数集和不可数集。

7.会利用Zermelo定理和Cantor-Schroder-Bernstein定理比较两个集合的基数。

二．重点、难点

重点：

1.函数及满射、单射和双射的定义；

2.函数的逆与函数的复合；

3.复合函数的性质；

4.等势与基数的概念。

5.基数的概念；

难点：

1.满射、单射和双射的定义；

2.复合函数和反函数的定义与性质。

3.等势与基数的概念；

4.Peano公理；

5.可数集与不可数集的定义；

6.可数集与不可数集的判断；

7.基数的比较；

三．要点点拔

1.函数可以看作是一种特殊的关系，其定义域就是R的前域；

2.函数和关系的区别有两点：

（1）函数的定义域是X，而不能是X的某个子集；

（2）一个x只能对应于一个唯一的y，也就是说x不能有重复的像。

3.根据函数的定义，不是每个函数都有逆函数，只有双射函数才有逆函数；

4.由于函数是一种特殊的关系，所以函数也是可复合的，两个函数的复合仍然是一个函数，并且函数的复合是可结合的；

5.由于函数的复合没有交换律，所以函数的左复合和右复合是不相等的。

6.对于有限集而言，集合的基数实质上就是该集合中元素的个数；对于无限集而言，其基数无法确定；

7.可数集是与自然数集等势的集合，由于自然数集是无限的，所以可数集与不可数集主要用于讨论无限集的性质。

8.基数的比较不需要太深入地理解证明过程，只要掌握运用定理的方法就可以了。

第七章图论

一．基本要求

1.正确理解无向图、有向图、顶点(结点)、边、弧、有限图、n阶图、零图、平凡图、孤立点、顶点的度、相邻、最大度、最小度、平行边、多重图、简单图、完全图、母图、子图、生成子图、导出子图、同构、通路、回路、迹、圈、连通图、强连通图、弱连通图、单向连通图、割点、割边、点割集、边割集、欧拉图、哈密尔顿图、平面图、平面嵌入、次数、极大平面图、极小非平面图、对偶图、关联矩阵、邻接矩阵、可达矩阵、最短路径、关键路径等基本概念。

2.能正确地表示有向图和无向图；

3.对于给定图能求出其最大度和最小度；

4.理解握手定理及其推论，并能够用其判断图的性质；

5.能判断两个图是否同构；

6.能判断一个图是否是连通图(强连通图、弱连通图、单向连通图)；

7.能用关联矩阵表示一个图，并根据关联矩阵判断图的性质；

8.能求出一个给定图的邻接矩阵和可达矩阵，并能够从邻接矩阵求出可达矩阵；

9.理解Dijkstra的最短路径算法，并能用此方法求出图中任意两个顶点之间的最短路径；

10.会求给定PERT图的关键路径。

11.判断一个图是否是欧拉图，是否存在欧拉路；

12.能判断一个图是否是哈密尔顿图，是否存在哈密尔顿图路；

13.能判断一个图是否是平面图，对于平面图，能计算出平面图的次数；

14.理解并识记极大平面图的性质；

15.理解并识记欧拉定理，会运用欧拉定理进行证明和平面图的判定；

16.理解同胚的概念，并会用库拉图斯基定理判断一个图是否是平面图；

17.会构造一个平面图的对偶图。

18.正确理解树、森林、平凡树、树叶、生成树、树枝、弦、余树、基本回路、基本回路系统、基本割集、基本割集系统、最小生成树、有向树、根树、内点、分支点、树高、有序树、正则树、完全树、有序完全正则树、最优树、前缀码、逆波兰式等概念；

19.理解并识记树的性质；

20.能求出连通图G的基本回路系统和基本割集系统；

21.理解Kruskal算法，并运用该算法构造图G的最小生成树；

22.会计算树的高度；

23.能判定有序树、正则树、完全树、有序完全正则树等特殊的树；

24.能运用Huffman算法构造最优二元树；

25.利用Huffman算法生成最佳前缀码；

26.会应用中序行遍法、前序行遍法和后序行遍法行遍一棵树。

二．重点、难点

重点：1.无向图和有向图的定义；

2.图中顶点的度及其有关定理(握手定理及其推论)；

3.简单图、完全图和生成子图的定义和性质；

4.同构的概念；

5.图的连通性及割点、割边的判断；

6.图的矩阵表示；

7.最短路径算法。

8.欧拉图及其判定；

9.哈密尔顿图及其判定；

10.平面图及其判定；

11.欧拉公式及其应用；

12.对偶图及其构造。

13.树的定义(7种等价定义)；

14.生成树的概念及最小生成树的构造；

15.Huffman算法；

16.前缀码；

17.树的行遍法。

难点：1.同构的概念及同构图的判断；

2.由邻接矩阵求可达矩阵；

3.最短路径算法；

4.关键路径算法。

5.欧拉图的判定；

6.哈密尔顿图的判定；

7.平面图的判定；

8.同胚的概念；

9.欧拉公式及其应用；

10.库拉图斯基定理；

11.树的定义；

12.最小生成树的构造；

13.Huffman算法；

14.前缀码。

三．要点点拔

1.无向图的每一条边都是无向边，有向图的每一条边都是有向边，若一个图中既有有向边又有无向边则为混合图。

2.注意区分零图和平凡图的概念，零图中只是没有边，但可以有很多顶点，而平凡图则是仅有一个顶点的图。

3.握手定理所以成立是因为每条边都关联两个顶点，而一条边给予关联的每个顶点的度数为1，因此在一个图中顶点的度数的总和等于边数的两倍。

4.两个图同构的充要条件是这两个图的顶点分别存在着一一对应，且保持关联关系。两个图同构还有一些必有条件：

5.顶点数目相同；(2)边数相等；(3)度数相同的顶点数目相等。

但要注意满足此三个必要条件的两个图不一定同构。

6.在用矩阵表示图时，注意关联矩阵和邻接矩阵的区别，关联矩阵的元素是顶点与边的关联次数，而邻接矩阵中的元素是顶点与顶点之间的边的条数。注意关联矩阵和邻接矩阵的性质。

7.在许多实际问题中，常常要判断有向图的一个顶点vi到另一个顶点vj是否存在路的问题，通过计算可达矩阵就可以得出任意两顶点间是否有路存在。在由邻接矩阵A计算可达矩阵P时，由于Ar中的元素aij(r)为顶点vi到另一个顶点vj的长度为r的路的条数，而任何有n阶图中初等路的长度都不会超过n，所以vi到vj所有的路的条数为Bn=A+A2+A3+…+An中元素bij的值，这里bij为vi到vj的长度为1的路的条数和长度为2的路的条数直到长度为n的路的条数的总和。得到Bn后，再从Bn中将不为零的元素均改换为1，而为零的元素不变，这个新得到的矩阵就是可达矩阵。

8.欧拉图是指存在欧拉回路的图，而不是存在欧拉路的图，判断一个图是否是欧拉图就是判断一个图中是否存在欧拉回路，因此，定理8.5的推论可直接用于欧拉图的判定。

9.密尔顿图是指存在哈密尔顿回路的图，而不是存在哈密尔顿路的图，判断一个图是否是哈密尔顿图就是判断一个图中是否存在哈密尔顿回路。可以利用哈密尔顿图的一些必要条件来进行哈密尔顿图的判定，不满足必要条件的肯定不是哈密尔顿图，但要注意满足必要条件的图不一定是哈密尔顿图。另外可以用定理8.7的推论进行哈密尔顿图的判定。

10.平面图的判定常常较困难，虽然欧拉公式有时能用来判定某一个图是非平面图，但还是没有简便的方法可以确定某个图是平面图。库拉图斯基定理给出了判定平面图的充要条件，但必须证明这个图不包含与K3，3和K5同胚的子图。

11.对偶图也是一种平面图，之所以引入对偶图是为了对图的着色进行研究，对偶图是将图的着色问题转化为图进行研究。如果G是G＊的对偶图，则G＊也是G的对偶图。

12.非连通图不可能具有生成树。

13.将树去掉一些(一个或多个)树枝后，树就变成了森林。

14.一个连通图G对应不同的生成树的基本回路及基本回路系统可能不同，但基本回路的个数是G所固有的参数，等于m-n+1。

15.对于一个n阶连通图G而言，对应不同的生成树的基本割集可能不一样，但基本割集的个数一定是n-1。

16.二元有序树又称二叉树，是一种重要的树，在信息科学中有非常重要的作用。

17.用Huffman算法生成的树一定的最优二叉树，根据得到的最优二叉树进行编码，得到的编码又叫Huffman编码，Huffman编码得到的前缀码就是最佳前缀码。

思考题：1.同构图在逻辑上是相等的，这体现了图的什么性质？

2.和其他数学课相比，图论有什么特点？

3.欧拉图有何优点？

4.哈密尔顿图有何优点？

5.平面图有何优点？

6.树有什么优点？

7.用什么方法可以加快对树的顶点的访问？

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