2.9.1 算法时间复杂度定义
在进行算法分析时,语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数,进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度,也就是 算法的时间量度,记作:T(n) = O(f(n))。它表示随问题规模n的增大,算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同,称作算法的渐近时间复杂度,简称为时间复杂度。其中f(n)是 问题规模n的某个函数。
这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法,我们称之为大O记法。
一般情况下,随着n的增大,T(n)增长最慢的算法为最优算法。
显然,由此算法时间复杂度的定义可知,我们的三个求和算法的时间复杂度分别为O(n),O(1),O(n2)。我们分别给它们取了非官方的名称,O(1)叫常数阶,O(n)叫线性阶,O(n2)叫平方阶,当然,还有其他的一些阶,我们之后会介绍。
2.9.2 推导大O阶方法
那么如何分析一个算法的时间复杂度呢?即如何推导大O阶呢?我们给出了下面的推导方法,基本上,这也就是总结前面我们举的例子
2.在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项。
3.如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项相乘的常数。
得到的结果就是大O阶。
哈,仿佛是得到了游戏攻略一样,我们好像已经得到了一个推导算法时间复杂度的万能公式。可事实上,分析一个算法的时间复杂度,没有这么简单,我们还需要多看几个例子。
2.9.3 常数阶
首先顺序结构的时间复杂度。下面这个算法,也就是刚才的第二种算法,为什么时间复杂度不是O(3),而是O(1)。
- int sum = 0,n = 100; /*执行一次*/
- sum = (1+n)*n/2; /*执行一次*/
- printf("%d", sum); /*执行一次*/
另外,我们试想一下,如果这个算法当中的语句sum=(1+n)*n/2有10句,即:
- int sum = 0, n = 100; /*执行一次*/
- sum = (1+n)*n/2; /*执行第1次*/
- sum = (1+n)*n/2; /*执行第2次*/
- sum = (1+n)*n/2; /*执行第3次*/
- sum = (1+n)*n/2; /*执行第4次*/
- sum = (1+n)*n/2; /*执行第5次*/
- sum = (1+n)*n/2; /*执行第6次*/
- sum = (1+n)*n/2; /*执行第7次*/
- sum = (1+n)*n/2; /*执行第8次*/
- sum = (1+n)*n/2; /*执行第9次*/
- sum = (1+n)*n/2; /*执行第10次*/
- printf("%d",sum); /*执行一次*/
注意,不管这个常数是多少,我们都记作O(1),而不能是O(3)、O(12)等其他任何数字。这是初学者常常犯的错误。
对于分支结构而言,无论是真,还是假,执行的次数都是恒定的,不会随着n的变大而发生变化,所以单纯的分支结构(不包含在循环结构中),其时间复杂度也是O(1)。
2.9.4 线性阶
循环结构就会复杂很多。要确定某个算法的阶次,我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此,我们要分析算法的复杂度,关键就是要分析循环结构的运行情况。
下面这段代码,它的循环的时间复杂度为O(n)。因为循环体中的代码须要执行n次。
- int i;
- for(i = 0; i < n; i++)
- {
- /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
- }
那么下面的这段代码,时间复杂度又是多少呢?
- int count = 1;
- while (count < n)
- {
- count = count * 2;
- /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
- }
2.9.6 平方阶
下面的例子是一个循环嵌套,它的内循环刚才我们已经分析过,时间复杂度为O(n)。
- int i,j;
- for(i = 0; i < n; i++)
- {
- for (j = 0; j < n;j++)
- {
- /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
- }
- }
如果外循环的循环次数改为了m,时间复杂度就变为O(m×n)。
- int i,j;
- for(i = 0; i < m; i++)
- {
- for (j = 0; j < n; j++)
- {
- /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
- }
- }
那么下面这个循环嵌套,它的时间复杂度是多少呢?
- int i,j;
- for(i = 0; i < n; i++)
- {
- for (j = i; j < n; j++) /*注意int j = i而不是0*/
- {
- /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
- }
- }
用我们推导大O阶的方法,第一条,没有加法常数不予考虑;第二条,只保留最高阶项,因此保留n2/2;第三条,去除这个项相乘的常数,也就是去除1/2,最终这段代码的时间复杂度为O(n2)。
从这个例子,我们也可以得到一个经验,其实理解大O推导不算难,难的是对数列的一些相关运算,这更多的是考察你的数学知识和能力,所以想考研的朋友,要想在求算法时间复杂度这里不失分,可能需要强化你的数学,特别是数列方面的知识和解题能力。
我们继续看例子,对于方法调用的时间复杂度又如何分析。
- int i,j;
- for(i = 0; i < n; i++)
- {
- function(i);
- }
上面这段代码调用一个函数function。
- void function(int count)
- {
- print(count);
- }
假如function是下面这样的:
- void function(int count)
- {
- int j;
- for (j = count; j < n;j++)
- {
- /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
- }
- }
下面这段相对复杂的语句:
- n++; /*执行次数为1*/
- function(n); /*执行次数为n*/
- int i,j;
- for(i = 0; i < n; i++) /*执行次数为n2*/
- {
- function (i);
- }
- for(i = 0; i < n; i++) /*执行次数为n(n + 1)/2*/
- {
- for (j = i;j < n; j++)
- {
- /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
- }
- }
它的执行次数 ,根据推导大O阶的方法,最终这段代码的时间复杂度也是O(n2)。
本文转自:http://dsr-22.iteye.com/blog/1139218
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