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算法的时间复杂度分析

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2.9.1 算法时间复杂度定义

 

        在进行算法分析时,语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数,进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度,也就是 算法的时间量度,记作:T(n) = O(f(n))。它表示随问题规模n的增大,算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同,称作算法的渐近时间复杂度,简称为时间复杂度。其中f(n)是 问题规模n的某个函数。

 

        这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法,我们称之为大O记法。
        一般情况下,随着n的增大,T(n)增长最慢的算法为最优算法。
        显然,由此算法时间复杂度的定义可知,我们的三个求和算法的时间复杂度分别为O(n),O(1),O(n2)。我们分别给它们取了非官方的名称,O(1)叫常数阶,O(n)叫线性阶,O(n2)叫平方阶,当然,还有其他的一些阶,我们之后会介绍。

 

2.9.2 推导大O阶方法

 

        那么如何分析一个算法的时间复杂度呢?即如何推导大O阶呢?我们给出了下面的推导方法,基本上,这也就是总结前面我们举的例子

 

推导大O阶 1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2.在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项。
3.如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项相乘的常数。
得到的结果就是大O阶。

 

        哈,仿佛是得到了游戏攻略一样,我们好像已经得到了一个推导算法时间复杂度的万能公式。可事实上,分析一个算法的时间复杂度,没有这么简单,我们还需要多看几个例子。

 

2.9.3 常数阶
        首先顺序结构的时间复杂度。下面这个算法,也就是刚才的第二种算法,为什么时间复杂度不是O(3),而是O(1)。

 

 

 

Java代码  收藏代码
  1. int sum = 0,n = 100;  /*执行一次*/  
  2. sum = (1+n)*n/2;   /*执行一次*/  
  3. printf("%d", sum);  /*执行一次*/  

 

 

 

        这个算法的运行次数函数是f(n)=3。根据我们推导大O阶的方法,第一步就是把常数项3改为1。在保留最高阶项时发现,它根本没有最高阶项,所以这个算法的时间复杂度为O(1)。
        另外,我们试想一下,如果这个算法当中的语句sum=(1+n)*n/2有10句,即:

 

 

 

Java代码  收藏代码
  1. int sum = 0, n = 100/*执行一次*/  
  2. sum = (1+n)*n/2;   /*执行第1次*/  
  3. sum = (1+n)*n/2;   /*执行第2次*/  
  4. sum = (1+n)*n/2;   /*执行第3次*/  
  5. sum = (1+n)*n/2;   /*执行第4次*/  
  6. sum = (1+n)*n/2;   /*执行第5次*/  
  7. sum = (1+n)*n/2;   /*执行第6次*/  
  8. sum = (1+n)*n/2;   /*执行第7次*/  
  9. sum = (1+n)*n/2;   /*执行第8次*/  
  10. sum = (1+n)*n/2;   /*执行第9次*/  
  11. sum = (1+n)*n/2;   /*执行第10次*/  
  12. printf("%d",sum);  /*执行一次*/   

 

 

 

        事实上无论n为多少,上面的两段代码就是3次和12次执行的差异,这种与问题的大小无关(n的多少),执行时间恒定的算法,我们称之为具有O(1)的时间复杂度,又叫常数阶。
        注意,不管这个常数是多少,我们都记作O(1),而不能是O(3)、O(12)等其他任何数字。这是初学者常常犯的错误。
        对于分支结构而言,无论是真,还是假,执行的次数都是恒定的,不会随着n的变大而发生变化,所以单纯的分支结构(不包含在循环结构中),其时间复杂度也是O(1)。

 

2.9.4 线性阶
        循环结构就会复杂很多。要确定某个算法的阶次,我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此,我们要分析算法的复杂度,关键就是要分析循环结构的运行情况。
        下面这段代码,它的循环的时间复杂度为O(n)。因为循环体中的代码须要执行n次。

 

 

 

Java代码  收藏代码
  1. int i;  
  2. for(i = 0; i < n; i++)  
  3. {  
  4.    /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/  
  5. }  
 

 

2.9.5 对数阶
        那么下面的这段代码,时间复杂度又是多少呢?

 

 

 

Java代码  收藏代码
  1. int count = 1;  
  2. while (count < n)  
  3. {  
  4.    count = count * 2;  
  5.    /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/  
  6. }  
 

 

        由于每次count乘以2之后,就距离n更近了一分。也就是说,有多少个2相乘后大于n,则会退出循环。由2x=n得到x=log2n。所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。

 

2.9.6 平方阶
        下面的例子是一个循环嵌套,它的内循环刚才我们已经分析过,时间复杂度为O(n)。

 

 

 

Java代码  收藏代码
  1. int i,j;  
  2. for(i = 0; i < n; i++)  
  3. {  
  4.    for (j = 0; j < n;j++)                         
  5.    {                                        
  6.        /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/  
  7.    }                                        
  8. }  

 

 

 

        而对于外层的循环,不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句,再循环n次。所以这段代码的时间复杂度为O(n2)。
        如果外循环的循环次数改为了m,时间复杂度就变为O(m×n)。

 

 

 

Java代码  收藏代码
  1. int i,j;  
  2. for(i = 0; i < m; i++)  
  3. {  
  4.    for (j = 0; j < n; j++)                  
  5.    {                                        
  6.        /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/  
  7.    }                                        
  8. }  
 

 

        所以我们可以总结得出,循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。
        那么下面这个循环嵌套,它的时间复杂度是多少呢?

 

 

 

Java代码  收藏代码
  1. int i,j;  
  2. for(i = 0; i < n; i++)  
  3. {  
  4.     for (j = i; j < n; j++)  /*注意int j = i而不是0*/  
  5.     {                                        
  6.           /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/  
  7.     }                                        
  8. }  
 

 

              由于当i = 0时,内循环执行了n次,当i = 1时,执行了n-1次,……当i = n-1时,内循环执行了1次。所以总的执行次数为

 

 

 

       

 

 

 

         用我们推导大O阶的方法,第一条,没有加法常数不予考虑;第二条,只保留最高阶项,因此保留n2/2;第三条,去除这个项相乘的常数,也就是去除1/2,最终这段代码的时间复杂度为O(n2)。
        从这个例子,我们也可以得到一个经验,其实理解大O推导不算难,难的是对数列的一些相关运算,这更多的是考察你的数学知识和能力,所以想考研的朋友,要想在求算法时间复杂度这里不失分,可能需要强化你的数学,特别是数列方面的知识和解题能力。
        我们继续看例子,对于方法调用的时间复杂度又如何分析。

 

 

 

Java代码  收藏代码
  1. int i,j;  
  2. for(i = 0; i < n; i++)  
  3. {  
  4.    function(i);  
  5. }  
  

 

              上面这段代码调用一个函数function。

 

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  1. void function(int count)  
  2. {  
  3.    print(count);  
  4. }  
 

 

       函数体是打印这个参数。其实这很好理解,function函数的时间复杂度是O(1)。所以整体的时间复杂度为O(n)。
       假如function是下面这样的:

 

 

 

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  1. void function(int count)  
  2. {  
  3.    int j;  
  4.    for (j = count; j < n;j++)                         
  5.    {                                        
  6.       /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/  
  7.    }      
  8. }   
 

 

        事实上,这和刚才举的例子是一样的,只不过把嵌套内循环放到了函数中,所以最终的时间复杂度为O(n2)。
        下面这段相对复杂的语句:

 

 

 

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  1. n++;       /*执行次数为1*/  
  2. function(n);     /*执行次数为n*/  
  3. int i,j;       
  4. for(i = 0; i < n; i++)  /*执行次数为n2*/  
  5. {  
  6.    function (i);  
  7. }  
  8. for(i = 0; i < n; i++)  /*执行次数为n(n + 1)/2*/  
  9. {  
  10.    for (j = i;j < n; j++)                         
  11.    {                                        
  12.         /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/  
  13.    }                                        
  14. }  
  

         它的执行次数 ,根据推导大O阶的方法,最终这段代码的时间复杂度也是O(n2)。

 

本文转自:http://dsr-22.iteye.com/blog/1139218

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