`

算法的时间复杂度分析

阅读更多

2.9.1 算法时间复杂度定义

 

        在进行算法分析时,语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数,进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度,也就是 算法的时间量度,记作:T(n) = O(f(n))。它表示随问题规模n的增大,算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同,称作算法的渐近时间复杂度,简称为时间复杂度。其中f(n)是 问题规模n的某个函数。

 

        这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法,我们称之为大O记法。
        一般情况下,随着n的增大,T(n)增长最慢的算法为最优算法。
        显然,由此算法时间复杂度的定义可知,我们的三个求和算法的时间复杂度分别为O(n),O(1),O(n2)。我们分别给它们取了非官方的名称,O(1)叫常数阶,O(n)叫线性阶,O(n2)叫平方阶,当然,还有其他的一些阶,我们之后会介绍。

 

2.9.2 推导大O阶方法

 

        那么如何分析一个算法的时间复杂度呢?即如何推导大O阶呢?我们给出了下面的推导方法,基本上,这也就是总结前面我们举的例子

 

推导大O阶 1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2.在修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项。
3.如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项相乘的常数。
得到的结果就是大O阶。

 

        哈,仿佛是得到了游戏攻略一样,我们好像已经得到了一个推导算法时间复杂度的万能公式。可事实上,分析一个算法的时间复杂度,没有这么简单,我们还需要多看几个例子。

 

2.9.3 常数阶
        首先顺序结构的时间复杂度。下面这个算法,也就是刚才的第二种算法,为什么时间复杂度不是O(3),而是O(1)。

 

 

 

Java代码  收藏代码
  1. int sum = 0,n = 100;  /*执行一次*/  
  2. sum = (1+n)*n/2;   /*执行一次*/  
  3. printf("%d", sum);  /*执行一次*/  

 

 

 

        这个算法的运行次数函数是f(n)=3。根据我们推导大O阶的方法,第一步就是把常数项3改为1。在保留最高阶项时发现,它根本没有最高阶项,所以这个算法的时间复杂度为O(1)。
        另外,我们试想一下,如果这个算法当中的语句sum=(1+n)*n/2有10句,即:

 

 

 

Java代码  收藏代码
  1. int sum = 0, n = 100/*执行一次*/  
  2. sum = (1+n)*n/2;   /*执行第1次*/  
  3. sum = (1+n)*n/2;   /*执行第2次*/  
  4. sum = (1+n)*n/2;   /*执行第3次*/  
  5. sum = (1+n)*n/2;   /*执行第4次*/  
  6. sum = (1+n)*n/2;   /*执行第5次*/  
  7. sum = (1+n)*n/2;   /*执行第6次*/  
  8. sum = (1+n)*n/2;   /*执行第7次*/  
  9. sum = (1+n)*n/2;   /*执行第8次*/  
  10. sum = (1+n)*n/2;   /*执行第9次*/  
  11. sum = (1+n)*n/2;   /*执行第10次*/  
  12. printf("%d",sum);  /*执行一次*/   

 

 

 

        事实上无论n为多少,上面的两段代码就是3次和12次执行的差异,这种与问题的大小无关(n的多少),执行时间恒定的算法,我们称之为具有O(1)的时间复杂度,又叫常数阶。
        注意,不管这个常数是多少,我们都记作O(1),而不能是O(3)、O(12)等其他任何数字。这是初学者常常犯的错误。
        对于分支结构而言,无论是真,还是假,执行的次数都是恒定的,不会随着n的变大而发生变化,所以单纯的分支结构(不包含在循环结构中),其时间复杂度也是O(1)。

 

2.9.4 线性阶
        循环结构就会复杂很多。要确定某个算法的阶次,我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此,我们要分析算法的复杂度,关键就是要分析循环结构的运行情况。
        下面这段代码,它的循环的时间复杂度为O(n)。因为循环体中的代码须要执行n次。

 

 

 

Java代码  收藏代码
  1. int i;  
  2. for(i = 0; i < n; i++)  
  3. {  
  4.    /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/  
  5. }  
 

 

2.9.5 对数阶
        那么下面的这段代码,时间复杂度又是多少呢?

 

 

 

Java代码  收藏代码
  1. int count = 1;  
  2. while (count < n)  
  3. {  
  4.    count = count * 2;  
  5.    /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/  
  6. }  
 

 

        由于每次count乘以2之后,就距离n更近了一分。也就是说,有多少个2相乘后大于n,则会退出循环。由2x=n得到x=log2n。所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。

 

2.9.6 平方阶
        下面的例子是一个循环嵌套,它的内循环刚才我们已经分析过,时间复杂度为O(n)。

 

 

 

Java代码  收藏代码
  1. int i,j;  
  2. for(i = 0; i < n; i++)  
  3. {  
  4.    for (j = 0; j < n;j++)                         
  5.    {                                        
  6.        /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/  
  7.    }                                        
  8. }  

 

 

 

        而对于外层的循环,不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句,再循环n次。所以这段代码的时间复杂度为O(n2)。
        如果外循环的循环次数改为了m,时间复杂度就变为O(m×n)。

 

 

 

Java代码  收藏代码
  1. int i,j;  
  2. for(i = 0; i < m; i++)  
  3. {  
  4.    for (j = 0; j < n; j++)                  
  5.    {                                        
  6.        /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/  
  7.    }                                        
  8. }  
 

 

        所以我们可以总结得出,循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。
        那么下面这个循环嵌套,它的时间复杂度是多少呢?

 

 

 

Java代码  收藏代码
  1. int i,j;  
  2. for(i = 0; i < n; i++)  
  3. {  
  4.     for (j = i; j < n; j++)  /*注意int j = i而不是0*/  
  5.     {                                        
  6.           /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/  
  7.     }                                        
  8. }  
 

 

              由于当i = 0时,内循环执行了n次,当i = 1时,执行了n-1次,……当i = n-1时,内循环执行了1次。所以总的执行次数为

 

 

 

       

 

 

 

         用我们推导大O阶的方法,第一条,没有加法常数不予考虑;第二条,只保留最高阶项,因此保留n2/2;第三条,去除这个项相乘的常数,也就是去除1/2,最终这段代码的时间复杂度为O(n2)。
        从这个例子,我们也可以得到一个经验,其实理解大O推导不算难,难的是对数列的一些相关运算,这更多的是考察你的数学知识和能力,所以想考研的朋友,要想在求算法时间复杂度这里不失分,可能需要强化你的数学,特别是数列方面的知识和解题能力。
        我们继续看例子,对于方法调用的时间复杂度又如何分析。

 

 

 

Java代码  收藏代码
  1. int i,j;  
  2. for(i = 0; i < n; i++)  
  3. {  
  4.    function(i);  
  5. }  
  

 

              上面这段代码调用一个函数function。

 

Java代码  收藏代码
  1. void function(int count)  
  2. {  
  3.    print(count);  
  4. }  
 

 

       函数体是打印这个参数。其实这很好理解,function函数的时间复杂度是O(1)。所以整体的时间复杂度为O(n)。
       假如function是下面这样的:

 

 

 

Java代码  收藏代码
  1. void function(int count)  
  2. {  
  3.    int j;  
  4.    for (j = count; j < n;j++)                         
  5.    {                                        
  6.       /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/  
  7.    }      
  8. }   
 

 

        事实上,这和刚才举的例子是一样的,只不过把嵌套内循环放到了函数中,所以最终的时间复杂度为O(n2)。
        下面这段相对复杂的语句:

 

 

 

Java代码  收藏代码
  1. n++;       /*执行次数为1*/  
  2. function(n);     /*执行次数为n*/  
  3. int i,j;       
  4. for(i = 0; i < n; i++)  /*执行次数为n2*/  
  5. {  
  6.    function (i);  
  7. }  
  8. for(i = 0; i < n; i++)  /*执行次数为n(n + 1)/2*/  
  9. {  
  10.    for (j = i;j < n; j++)                         
  11.    {                                        
  12.         /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/  
  13.    }                                        
  14. }  
  

         它的执行次数 ,根据推导大O阶的方法,最终这段代码的时间复杂度也是O(n2)。

 

本文转自:http://dsr-22.iteye.com/blog/1139218

分享到:
评论

相关推荐

    算法时间复杂度分析基础 (论文)

    "算法时间复杂度分析基础" 本文论述了算法时间复杂度分析的基础内容,涵盖了时间复杂度的定义、数学意义、分析示例等方面的知识点。 时间复杂度是指算法执行时间随输入规模增长而增长的量级,是评价算法优劣的重要...

    关于递归算法时间复杂度分析的探讨.pdf

    关于递归算法时间复杂度分析的探讨,是一个深入理解算法效率和优化的关键议题。递归,作为解决问题的一种强大工具,其本质是将复杂问题分解为更简单的子问题,通过求解这些子问题来达到最终解决方案的目的。然而,...

    算法时间复杂度

    根据给定文件的信息,我们可以详细地探讨“算法时间复杂度”的相关知识点。时间复杂度是衡量算法运行时间随输入规模增长而变化的函数,它在计算机科学与编程领域扮演着至关重要的角色。接下来,我们将围绕以下几个...

    深度解析:数据结构算法时间复杂度分析指南

    在计算机科学中,算法的...本文详细介绍了时间复杂度分析的重要性和方法,通过具体示例展示了如何对不同数据结构和算法进行时间复杂度分析。希望这能帮助读者更好地理解时间复杂度的概念,提高算法分析和设计的能力。

    根号n段归并排序算法时间复杂度分析过程

    根号n段归并排序算法是一种优化过的归并排序策略,它的主要目标是减少比较和交换操作的次数,从而在处理大数据集时提高效率。...理解其工作原理和时间复杂度分析有助于我们在实际应用中选择合适的排序算法。

    遗传禁忌搜索算法收敛性和时间复杂度分析

    应用马尔科夫链模型证明了遗传禁忌搜索算法是以概率1收敛到全局最优解的,并应用求解随机算法时间复杂度的方法,即求解算法的期望收敛时间,估算了该算法的时间复杂度,结果证明该算法的时间复杂度与所得解的多样性、...

    排序算法时间复杂度的分析java语言描述

    在计算机科学中,排序算法是数据处理的重要组成部分,它们用于将一组无序的数据按照特定的顺序排列。在Java编程语言中,实现...然而,了解基本排序算法的原理和时间复杂度分析对于优化代码和解决特定问题仍然至关重要。

    关于算法时间复杂度的计算

    在算法时间复杂度的计算中,我们需要分析算法的频度,即每个语句的执行次数。通常情况下,我们可以使用循环不变量的方法来计算频度,然后根据频度计算算法的时间复杂度。 例如,在例 2.1 中,我们可以看到,语句 1 ...

    算法实验代码和报告(时间复杂度、0-1背包问题、分治与贪心、蛮力法)

    理解并分析算法的时间复杂度有助于优化程序性能。 接着是**0-1背包问题**,这是一个经典的组合优化问题。在0-1背包问题中,我们有一个容量有限的背包,里面装有不同重量和价值的物品,目标是在不超过背包总容量的...

    内部排序算法复杂度分析

    各种内部排序算法的时间复杂度分析结果只给出了算法执行时间的阶,或大概执行时间。试通过随机的数据比较各算法的关键字比较次数和关键字移动次数,以取得直观感受。

    算法 时间复杂度 空间复杂度 经典

    ### 算法的时间复杂度与空间复杂度详解 #### 一、算法复杂度概述 在计算机科学领域,算法的时间复杂度与空间复杂度是衡量一个算法效率的重要指标。时间复杂度关注的是算法执行时间的增长速率,而空间复杂度则侧重...

    排序算法时间复杂度比较

    1. 首先产生要进行排序的整形数组(可以保存在文件中...2. 调用各种排序方法对数组排序,并记录花费时间 对于更多更高级的排序算法,以后会实现,另外,对于复杂字符串排序,这些简单排序并不适合,请采用更高效的方法

    用母函数理论分析递归算法的时间复杂度

    文章中的三个推论可能涉及了类似于上述的数学推导过程,展示了母函数理论在递归算法时间复杂度分析中的应用。这种分析方法不仅能给出时间复杂度的上界或下界,还可以在某些情况下提供精确的时间复杂度表达式。这些...

    算法复杂度分析基础课件

    算法复杂度分析是评估算法效率的重要工具,主要涉及时间复杂度和空间复杂度两个方面。这门基础课程旨在教授如何分析算法在处理大规模数据时所需的资源,帮助开发者优化程序性能。 一、算法复杂度的概念 1. 时间...

    排序算法时间复杂度的研究.pdf

    ### 排序算法时间复杂度的研究 #### 引言 排序是计算机科学中的基础操作之一,主要用于对数据集中的元素按照特定的顺序进行排列。排序算法的效率直接关系到计算机程序的整体性能。根据数据是否完全加载到内存中,...

    算法的时间复杂度分析.pdf

    在《算法的时间复杂度分析》这篇文章中,作者程世辉等人详细探讨了算法时间复杂度的相关概念及计算方法。 #### 二、算法分析的基本理论 ##### 2.1 评价算法好坏的标准 对于同一问题的不同算法,评价其优劣的标准...

    快速排序与归并排序的时间复杂度分析

    快速排序的时间复杂度在最好情况下为O(n log n),最坏情况下为O(n^2),平均情况也是O(n log n)。由于在每一轮划分中,元素的移动次数可能小于比较次数,所以快速排序通常被认为是实际应用中效率较高的排序算法。但其...

    分析算法时间复杂度.zip

    在分析算法时间复杂度的上下文中,这些文件可能包含示例代码或测试用例,用来演示不同算法的时间复杂度分析。 ".idea"目录通常存储IntelliJ IDEA或Android Studio等IDE的项目配置信息,这可能意味着这个压缩包是...

    算法时间复杂度的实验测试.zip_堆排序;算法时间复杂度_时间复杂度_胡书晗

    本实验测试的主题聚焦于堆排序算法的时间复杂度分析,由胡书晗进行研究。堆排序是一种基于比较的排序算法,其基本思想是将待排序的数据构造成一个大顶堆或小顶堆,然后通过交换堆顶元素与末尾元素,将最大(或最小)...

Global site tag (gtag.js) - Google Analytics