题意
给出一个数n(0<n<10^9)。问有多少种a,b的组合使得1/a+1/b=1/n。
思路
第一步a,b肯定大于n。设a=n+x,b=n+y。得到n^2=x*y。题目转化为求n^2有多少种分解为两个数乘积的方法。
第二步,这里有一个定理ai为一个质数。对于一个数字x,x=a1^k1*a2^k2,,,,,*an^kn。则x的因子个数为(k1+1)*(k2+1)*,,,,,*(kn+1)。
第三步,容易推出x^2的因子个数为(2*k1+1)*(2*k2+1)*,,,,,*(2*kn+1)
第四步,对于一个完全平方数x,其因子个数为n,则x=ab的组合的个数为(n+1)/2
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<cmath> using namespace std; const int nMax = 100000; int sum[nMax] = {0}; int prime[nMax]={0}; void make(){ int i,j; for(i=2;i<nMax;i++){ if(i%2)sum[i]=1; } int temp=(int)sqrt(nMax); for(i=3;i<temp;i++){ if(sum[i]){ for(j=i+i;j<=nMax;j+=i){ sum[j]=0; } } } sum[1]=0;sum[2]=1; int a=0; for(i=0;i<nMax;i++){ if(sum[i]){ prime[a]=i; a++; } } } int main(){ int i,ans,b,c,n,tcs,tt; cin>>tcs; make(); for(tt = 1; tt <= tcs; tt ++){ cin>>n; ans = 1; b = sqrt(n); for(i = 0;prime[i] <= b; i ++){ if(n % prime[i] == 0){ c = 0; while(n%prime[i] == 0){ c ++; n /= prime[i]; } ans*=(c * 2 + 1); } } if(n != 1){ ans *= 3; } printf("Scenario #%d:\n%d\n\n",tt,(ans+1)/2); } return 0; }
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