[RMQ]poj 3264：Balanced Lineup

大致题意：

    给出一列共n个数，m次询问。每次询问包括两个数a，b。输出区间[a,b]中最大值与最小值的差。

 

大致思路：

    RMQ区间极值求法的模版题。

 

以下内容转自：http://www.cnblogs.com/cnjy/archive/2009/08/30/1556566.html

    RMQ(Range Minimum/Maximum Query)问题：

   RMQ问题是求给定区间中的最值问题。当然，最简单的算法是O(n)的，但是对于查询次数很多（设置多大100万次），O(n)的算法效率不够。可以用线段树将算法优化到O（logn)（在线段树中保存线段的最值）。不过，Sparse_Table算法才是最好的：它可以在O(nlogn)的预处理以后实现O(1)的查询效率。下面把Sparse Table算法分成预处理和查询两部分来说明(以求最小值为例)。 

预处理:

预处理使用DP的思想，f(i, j)表示[i, i+2^j - 1]区间中的最小值，我们可以开辟一个数组专门来保存f(i, j)的值。

例如，f(0, 0)表示[0,0]之间的最小值,就是num[0], f(0, 2)表示[0, 3]之间的最小值, f(2, 4)表示[2, 17]之间的最小值

注意, 因为f(i, j)可以由f(i, j - 1)和f(i+2^(j-1), j-1)导出, 而递推的初值(所有的f(i, 0) = i)都是已知的

所以我们可以采用自底向上的算法递推地给出所有符合条件的f(i, j)的值。

查询:

假设要查询从m到n这一段的最小值, 那么我们先求出一个最大的k, 使得k满足2^k <(n - m + 1).

于是我们就可以把[m, n]分成两个(部分重叠的)长度为2^k的区间: [m, m+2^k-1], [n-2^k+1, n];

而我们之前已经求出了f(m, k)为[m, m+2^k-1]的最小值, f(n-2^k+1, k)为[n-2^k+1, n]的最小值

我们只要返回其中更小的那个, 就是我们想要的答案, 这个算法的时间复杂度是O(1)的.

例如, rmq(0, 11) = min(f(0, 3), f(4, 3))

由此我们要注意的是预处理f(i,j)中的j值只需要计算log(n+1)/log(2)即可，而i值我们也只需要计算到n-2^k+1即可。

 

 

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
const int nMax= 50003;
int num[nMax],n;
int maxMap[nMax][20];
int minMap[nMax][20];

void maxRmq(){        //map(i, j)表示[i, i+2^j - 1]区间中的最值
    int i,j;
    for(i=1;i<=n;i++){
        maxMap[i][0]=num[i];
    }
    for(j=1;j<=log((double)(n+1))/log(2.0);j++){
      for(i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){
           maxMap[i][j]=max(maxMap[i][j-1],maxMap[i+(1<<(j-1))][j-1]);
      }
    }
}

void minRmq(){
    int i,j;
    for(i=1;i<=n;i++){
        minMap[i][0]=num[i];
    }
    for(j=1;j<=log((double)(n+1))/log(2.0);j++){
      for(i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){
           minMap[i][j]=min(minMap[i][j-1],minMap[i+(1<<(j-1))][j-1]);
      }
    }
}

int askMax(int a,int b){
    if(a>b)swap(a,b);
    int k =(int)(log((double)(b-a+1))/log(2.0));
    return max(maxMap[a][k],maxMap[b-(1<<k)+1][k]);
}

int askMin(int a,int b){
    if(a>b)swap(a,b);
    int k=(int)(log((double)(b-a+1))/log(2.0));
    return min(minMap[a][k],minMap[b-(1<<k)+1][k]);
}

int main(){
    int m,i,j,a,b;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
        for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&num[i]);
        maxRmq();
        minRmq();
        while(m--){
            scanf("%d%d",&a,&b);
            printf("%d\n",askMax(a,b)-askMin(a,b));
        }
    }
    return 0;
}