让我再一次比较完整的重复一下我们要解决的问题:我们有属于两个类别的样本点(并不限定这些点在二维空间中)若干,如图,
圆形的样本点定为正样本(连带着,我们可以把正样本所属的类叫做正类),方形的点定为负例。我们想求得这样一个线性函数(在n维空间中的线性函数):
g(x)=wx+b
使得所有属于正类的点x+代入以后有g(x+)≥1,而所有属于负类的点x-代入后有g(x-)≤-1(之所以总跟1比较,无论正一还是负一,都是因为我们固定了间隔为1,注意间隔和几何间隔的区别)。代入g(x)后的值如果在1和-1之间,我们就拒绝判断。
求这样的g(x)的过程就是求w(一个n维向量)和b(一个实数)两个参数的过程(但实际上只需要求w,求得以后找某些样本点代入就可以求得b)。因此在求g(x)的时候,w才是变量。
你肯定能看出来,一旦求出了w(也就求出了b),那么中间的直线H就知道了(因为它就是wx+b=0嘛,哈哈),那么H1和H2也就知道了(因为三者是平行的,而且相隔的距离还是||w||决定的)。那么w是谁决定的?显然是你给的样本决定的,一旦你在空间中给出了那些个样本点,三条直线的位置实际上就唯一确定了(因为我们求的是最优的那三条,当然是唯一的),我们解优化问题的过程也只不过是把这个确定了的东西算出来而已。
样本确定了w,用数学的语言描述,就是w可以表示为样本的某种组合:
w=α1x1+α2x2+…+αnxn
式子中的αi是一个一个的数(在严格的证明过程中,这些α被称为拉格朗日乘子),而xi是样本点,因而是向量,n就是总样本点的个数。为了方便描述,以下开始严格区别数字与向量的乘积和向量间的乘积,我会用α1x1表示数字和向量的乘积,而用<x1,x2>表示向量x1,x2的内积(也叫点积,注意与向量叉积的区别)。因此g(x)的表达式严格的形式应该是:
g(x)=<w,x>+b
但是上面的式子还不够好,你回头看看图中正样本和负样本的位置,想像一下,我不动所有点的位置,而只是把其中一个正样本点定为负样本点(也就是把一个点的形状从圆形变为方形),结果怎么样?三条直线都必须移动(因为对这三条直线的要求是必须把方形和圆形的点正确分开)!这说明w不仅跟样本点的位置有关,还跟样本的类别有关(也就是和样本的“标签”有关)。因此用下面这个式子表示才算完整:
w=α1y1x1+α2y2x2+…+αnynxn (式1)
其中的yi就是第i个样本的标签,它等于1或者-1。其实以上式子的那一堆拉格朗日乘子中,只有很少的一部分不等于0(不等于0才对w起决定作用),这部分不等于0的拉格朗日乘子后面所乘的样本点,其实都落在H1和H2上,也正是这部分样本(而不需要全部样本)唯一的确定了分类函数,当然,更严格的说,这些样本的一部分就可以确定,因为例如确定一条直线,只需要两个点就可以,即便有三五个都落在上面,我们也不是全都需要。这部分我们真正需要的样本点,就叫做支持(撑)向量!(名字还挺形象吧,他们“撑”起了分界线)
式子也可以用求和符号简写一下:
因此原来的g(x)表达式可以写为:
注意式子中x才是变量,也就是你要分类哪篇文档,就把该文档的向量表示代入到 x的位置,而所有的xi统统都是已知的样本。还注意到式子中只有xi和x是向量,因此一部分可以从内积符号中拿出来,得到g(x)的式子为:
发现了什么?w不见啦!从求w变成了求α。
但肯定有人会说,这并没有把原问题简化呀。嘿嘿,其实简化了,只不过在你看不见的地方,以这样的形式描述问题以后,我们的优化问题少了很大一部分不等式约束(记得这是我们解不了极值问题的万恶之源)。但是接下来先跳过线性分类器求解的部分,来看看 SVM在线性分类器上所做的重大改进——核函数。
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