转-从一个C++笔试题看浮点数的表示

网上流行的一份C++笔试题目中有这样一个题目（最初出处未知，从google或者baidu可搜索到多出来源）

10. 以下两条输出语句分别输出什么？[C++难]
float a = 1.0f;
cout << (int)a << endl;
cout << (int&)a << endl;
cout << boolalpha << ( (int)a == (int&)a ) << endl; // 输出什么？
float b = 0.0f;
cout << (int)b << endl;
cout << (int&)b << endl;
cout << boolalpha << ( (int)b == (int&)b ) << endl; // 输出什么？

这个题目涉及float在计算机中的存储问题， IEEE 754的标准就是描述的这个问题。如果这个题目放在笔试的时候应该比面试的时候容易多了。

这个题目的几个答案为1，1065353216（0x3f800000H），false，0，0，true。如果你已完美的答出这六个答案，就可以忽略后面的内容。

1.我们先来看一下IEEE 754中关于float，double的存储规范。
无论是单精度还是双精度在存储中都分为三个部分：

1.  符号位(Sign) : 0代表正，1代表为负

2.  指数位（Exponent）:用于存储科学计数法中的指数数据，并且采用移位存储

3.  尾数部分（Mantissa）：尾数部分

其中float的存储方式如下图所示：



指数部分（E）　占用８-bit的二进制数，可表示数值范围为0－255。　但是指数应可正可负，所以IEEE规定，此处算出的次方须减去127才是真正的指数。所以float的指数可从 -126到128.

尾数部分（M）实际是占用24-bit的一个值，由于其最高位始终为 1 ，所以最高位省去不存储，在存储中只有23-bit。

符号位：s 通过（-1）的s次幂来表示正负号。

而双精度的存储方式为:



我们把E，M从二进制串表示转换为真正的e、m
这里要涉及到“规格化(normalized)”、“非规格化(denormalized)”。规格化与否全看指数E！下面分三种情况讨论E，并分别计算e和m:
1、规格化：当E的二进制位不全为0,也不全为1时，N为规格化形式。此时e被解释为表示偏置（biased）形式的整数,e值计算公式如下图所示：





上图中，|E|表示E的二进制序列表示的整数值,例如E为"10000100",则|E|=132,e=132-127=5 。 k则表示E的位数，对单精度来说，k=8,则bias=127，对双精度来说，k=11,则bias=1023。

此时m的计算公式如下图所示：





标准规定此时小数点左侧的隐含位为1,那么m=|1.M|。如M="101"，则|1.M|=|1.101|=1.625,即 m=1.625

2、非规格化：当E的二进制位全部为0时，N为非规格化形式。此时e，m的计算都非常简单。




注意，此时小数点左侧的隐含位为0。   为什么e会等于(1-bias)而不是(-bias)，这主要是为规格化数值、非规格化数值之间的平滑过渡设计的。后文我们还会继续讨论。有了非规格化形式，我们就可以表示0了。把符号位S值1,其余所有位均置0后，我们得到了 -0.0; 同理，把所有位均置0,则得到 +0.0。非规格化数还有其他用途，比如表示非常接近0的小数，而且这些小数均匀地接近0,称为“逐渐下溢(gradually underflow)”属性。
3、特殊数值：当E的二进制位全为1时为特殊数值。此时，若M的二进制位全为0，则n表示无穷大，若S为1则为负无穷大，若S为0则为正无穷大; 若M的二进制位不全为0时，表示NaN(Not a Number)，表示这不是一个合法实数或无穷，或者该数未经初始化。

2.问题的解答
对于1.0f这个数字，我们应该如何表示？按照上面的规则可以得到，符号位为0，指数位为127（0x7F），尾数部分M应该为全0。因此它在计算机中的存储就是0x3F800000H。

cout << (int)a << endl;

把a从浮点数转换为整数，由于1.0f能够使用32bits完整的表示，没有舍入误差，因此会输出整数 1
cout << (int&)a << endl;

把a里面的内容转换为整数地址，因此编译器会直接浮点数的32位表示直接输出，，即0x3f800000h的10进制表示。

对于0.0f这个特殊的表示上面已经提到了，它在内存中的存储就是全0，因此直接把浮点数转换为整数还是直接把浮点数的表示转化为整数地址结果都是0。

正如上面提到的一样，浮点数-0的表示和+0的表示是不同的，-0在内存中的表示为0x80000000H。

最后再转载一点关于long double的知识，我也没有自己深入。

3.扩展双精度格式（long double）
⑴ 扩展双精度格式（SPARC 结构计算机）

该4倍精度浮点环境符合IEEE关于扩展双精度格式的定义。该浮点环境的4倍精度浮点格式共128位，占4个连续32位字，包含3个构成字段：112位的小数f，15位的偏置指数e，和1位的符号s。将这4个连续的32位字整体作为一个128位的字，进行重新编号。其中0：110位包含小数f；112：126位包含偏置指数e；第127位包含符号位s。如图3所示。

在SPARC结构计算机中，地址最高的32位字存放小数的32位最低有效位，即f[31:0]；但是在PowerPC结构计算机中，却是地址最低的32位字存放这些位。

紧邻的两个32位字（在SPARC机中向下计算，在PowerPC机中向上计算）分别存放f[63:32]和f[95:64]。

最后一个字的第0到15位存放小数的最高16位,即f[111:96]。其中第0位存放该16位的最低有效位，第15位存放整个小数f的最高有效位。第16到30位存放15位的偏置指数e，其中第16位存放偏置指数的最低有效位，第30位存放它的最高有效位。最高位，第31位存放符号s。




⑵ 扩展双精度格式（Intel x86结构计算机）

该浮点环境双精度扩展格式符合IEEE双精度扩展格式的定义。该浮点环境的扩展双精度格式共80位，占3个连续32位字，包含四个构成字段：63位的小数f，1位显式前导有效位（explicit leading significand bit）j，15位偏置指数e，和1位符号位s。将这3个连续的32位字整体作为一个96位的字，进行重新编号。其中0：63包含63位的小数f，第63位包含前导有效位j，64：78位包含15位的偏置指数e，最高位第79位包含符号位s。

在Intel结构系计算机中，这些字段依次存放在十个连续的字节中。但是，由于 UNIX  System V Application Binary Interface Intel 386 Processor Supplement (Intel ABI) 要求双精度扩展参数，从而占用堆栈中3个相连地址的32位字，其中最高一个字的高16位未被使用。




地址最低的32位字存放小数f的低32位，即f[31:0]。其中第0位存放整个小数f的最低有效位LSB 第31位存放小数低32位的最高有效位MSB。
地址居中的32位字，第0到30位存放小数f的31位最高位，即f[62:32]。其中第0位存放31位最高小数位的最低有效位LSB，第30位存放整个小数的最高有效位，地址居中的32位字的最高位第31位存放显式的前导有效位j。

地址最高32位字里，第0到14位存放15位的偏置指数e，第0位存放偏置指数的最低有效位LSB，第14位存放最高有效位MSB，第15位存放符号位s。虽然地址最高的32位字的高16位在Intel x86结构系列机种未被使用，但他们对符合Intel ABI的规定来说，是必需的。



原文地址 http://blog.csdn.net/abortexit/archive/2009/06/22/4288279.aspx