一个简单的动态规划例子

动态规划 既Dynamic Programming
1）动态规划是运筹学中用于求解决策过程中的最优化数学方法。 当然，我们在这里关注的是作为一种算法设计技术，作为一种使用多阶段决策过程最优的通用方法。
它是应用数学中用于解决某类最优化问题的重要工具。

2）如果问题是由交叠的子问题所构成，我们就可以用动态规划技术来解决它，一般来说，这样的子问题出现在对给定问题求解的递推关系中，这个递推关系包含了相
同问题的更小子问题的解。动态规划法建议，与其对交叠子问题一次又一次的求解，不如把每个较小子问题只求解一次并把结果记录在表中（动态规划也是空间换时间
的），这样就可以从表中得到原始问题的解。

直接看例子

国际象棋中的车可以水平的或竖直的移动，一个车要从一个棋盘的一角移到对角线的另一角，有多少种最短路径？

用动态规划算法求解(假设棋盘为n*n,最短路即不能回退)

我们设定 F[i , j]表示从坐标（0,0）到（i ,j）的方法数（定义F[i , j]的含义，动态规划的一个关键点）：

很明显,要走到坐标（i ,j），它的上一步的坐标必定是（i-1 ,j）或者（i ,j-1） （分析动态规划问题的逆向思考）

这样就将问题描述为了交叠子问题：

F[i , j] = F[i -1, j] + F[i , j-1] （ F[i , j] 拆解成更小的交叠的子问题 ）

我们要求的是F[n , n]

列出初始边界条件：

F[0 , j] = 1
F[i , 0] = 1

填矩阵的形式：可以按行也可以按列。

典型的动态规划的算法,由最小的边界条件处依次递归.
把矩阵填出来以后也很简单
1　 8　 36　120　330　 792　1716　 3432

  1　 7　 28　84 　210　 462　924 　 1716

  1　 6　 21　56　 126　 252　 462   792

  1   5　 15　35　 70　  126   210　 330

  1　 4　 10　 20　 35　 56 　  84  　120

  1   3　 6　 10　 15 　 21　   28　   36

  1   2　  3　  4   5　  6　    7  　  8

  车  1  　1  　1   1 　 1  　  1  　  1

这个图似曾相识吧,没错,这就是帕斯卡三角形(Pascal's Triangle)

   1

　　11

　　121

　　1331

　　14641

　　...........


的变形.即二项式的展开系数.因此其实F[n , n]即为C(2n , n)
(c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!))

二项式系数的性质图里也已经很明显了 C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k) n>k>0


代码:

/**
  * Copyright 2012, NEWTOUCH Co., Ltd.  All right reserved.
  */
 package calculation.dynamicprogramming;
 
 /**
  * @author aijnec
  */
 public class ChessTest {
 
     //棋盘维度
     private static int n = 8;
     //棋盘模型
     private long[][] chessBoard = new long[n][n];
 
     /**
      * 构造棋盘矩阵 往格子里填方法数
      *
      */
     private void buildChessBoard(){            
 
         for(int i=0;i<n;i++){            
 
             for(int j=0;j<n;j++){                
 
                 if(i==0 || j==0){
                     //边界条件
                     chessBoard[i][j]=1;
                     //System.out.println("chessBoard["+i+"]"+"["+j+"]="+chessBoard[i][j]);
                 }else{
                     //子方法递推
                     chessBoard[i][j]=chessBoard[i-1][j]+chessBoard[i][j-1];
                     //System.out.println("chessBoard["+i+"]"+"["+j+"]="+chessBoard[i][j]);
                 }
             }
         }
     }
 
     /**
      * 取得从(0,0)走到对角端点(n,n)的最短方法数
      * @return
      */
     public void getPointNum(){        
         buildChessBoard();
         System.out.println("pointNum="+chessBoard[n-1][n-1]);
     }
 
     public static void main(String[] args){
         ChessTest test = new ChessTest();
 
         long startTick,endTick;
         startTick = System.nanoTime();
 
         test.getPointNum();
 
         endTick = System.nanoTime();
         System.out.println("process  costs "+(endTick-startTick)+" ns");
 
     }
 }