不可解问题

    转自http://www.kuqin.com/algorithm/20080716/11435.html

    看黑书介绍NP的时候有一个“不可解问题”，非常不可思议，费劲周折在网上查到了些英文资料，搞明白了，非常有意思，在这里说一下。

    不可解问题(Undecidable Decision Problem)指的是这样一种问题：他无论如何也不可能有一个正确的算法来解决。虽然不可思议，但这种问题被证明确实是存在的。图灵在1936年（那时还没电脑，我们的父亲是在没有设备支持的纯理论基础上提出来的，致敬）提出了第一个不可解问题的实例：The Halting Problem。

    The Halting Problem是问，输入一段程序代码和一个针对此程序的输入，能否编程判断运行这个程序后程序是否会终止。
    这个问题的答案是否定的。也就是说，不可能有一种算法可以正确判断一个指定的程序运行后，给予指定的输入，程序最后出不出得来。换句话说，The Halting Problem是一个不可解问题。

    虽然这感觉似乎不可能，但在严格的证明下谁也无法发言反对。
    证明过程非常简单，假设The Halting Problem是有解的，并且已经用程序实现了，那么我们只需要再编写一个程序Program Bug，就会发现存在矛盾。
    反证：既然解决The Halting Problem的算法已经实现了，那么我们一定能定义一个函数

Function Halting(a,b:input_type):boolean;

    其中，a是读入的程序源码，b是输入数据。这个函数的功能就是返回对于指定的程序源码和输入数据，程序是否能顺利退出。
    下面编写一个程序：

Program Bug;
var
    code:input_type;
begin
   get(code);   //读入code
   if halting(code,code) then repeat until false
      else halt;
end.

    好，现在运行Bug这个程序，并且输入Bug这个程序本身的代码。这样，halting(code,code)其实质就是在判断这个Bug程序本身了。如果The Halting Problem认为Bug程序会正常退出，那么就让程序进入一个死循环，否则立即退出程序。矛盾产生。