【多边形重心/新增三角形叉积公式】HDU 1115 Lifting the Stone

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1115


题意：逆时针给出n个点，求这个n边形的重心

Sample Input
2
4
5 0
0 5
-5 0
0 -5
4
1 1
11 1
11 11
1 11

Sample Output
0.00 0.00
6.00 6.00

求三角形面积公式【已知三个顶点坐标】

逆时针依次为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)：S为正
顺时针S为负



所谓三角形的重心就是三角形的外心，即中线交点，如图，重心坐标为(xg,yg)




求多边形重心的题目大致有这么几种：

1、质量集中在顶点上
    n个顶点坐标为(xi,yi)，质量为mi，则重心
　　X = ∑( xi×mi ) / ∑mi
　　Y = ∑( yi×mi ) / ∑mi
　　特殊地，若每个点的质量相同，则
　　X = ∑xi / n
　　Y = ∑yi / n

2、质量分布均匀
　　特殊地，质量均匀的三角形重心：
　　X = ( x0 + x1 + x2 ) / 3
　　Y = ( y0 + y1 + y2 ) / 3

3、质量分布不均匀
    只能用函数多重积分来算，不太会

这题的做法：
将n边形分成多个三角形，分别求出重心坐标以及质量m【因为质量分布均匀，所以可以设密度为1，则面积就是质量】
因为质量都集中在重心
所以把所有求出来的重心按逆时针连接起来又是一个多边形
但是这个多边形的质量集中在顶点上
所以可以利用上面公式进行计算

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using namespace std;

struct point{
	double x, y;
}p[1000005];

double area (point a, point b, point c)    //叉积公式求三角形面积的2倍
{
return a.x * b.y + b.x * c.y + c.x * a.y - c.x * b.y - b.x * a.y - a.x * c.y;
}

int main()
{
	int t, n, i;
	point pre;
	double gx, gy, sum, m, x1, y1;
	scanf ("%d", &t);
	while (t--)
	{
		sum = gx = gy = 0;
		scanf ("%d", &n);
		for (i = 0; i < n; i++)
			scanf ("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y);
		pre = p[1];
		for (i = 2; i < n; i++)
		{
			m = area (p[0], pre, p[i]);
             //设密度=2，质量=2*面积，加绝对值fabs会错，因为可能有凹边形，产生负面积...
			x1 = (p[0].x + pre.x + p[i].x) / 3;
			y1 = (p[0].y + pre.y + p[i].y) / 3;    //三角形重心坐标
			gx += m * x1;    //公式中的 ∑( xi×mi )
			gy += m * y1;    //公式中的 ∑( yi×mi )
			sum += m;    //公式中的 ∑mi
			pre = p[i];
		}
		gx /= sum, gy /= sum;
		printf ("%.2lf %.2lf\n", gx, gy);
	}
	return 0;
}