月光理论及推论

神秘的月光是真的

W．Wayt Gibbs

Richard Borcherds 证明了这点并发现了物理学想象出的最小实体同
数学中最复杂的实体之间存在着不可思议的联系。

同 Bichard BorcheIds谈论他的研究工作可能令人气馁。其原因
之一是，对于这位年仅38岁就已荣获数学界的最高奖励—菲尔兹奖的
天才，别人要想跟上他的思维是非常之难的。 (菲尔兹奖是一枚纯金
奖章，其上刻有一句拉丁铭言，勉励获奖者“超越自我，洞察宇宙”
。)

问题不仅在于此。 Borcherds的行动也明显地令人感到不自在。
我按照他预定的时间准时来到座落在剑桥大学一个难以形容的角落里
的他的办公室：我轻轻地敲了敲办公室的门。然而我的到来却令他大
为惊慌失措。他象一头被困在笼子里的老虎一样踱来踱去莫名其妙地
挥动他的双手。看来他似乎手足无措，不知道下一步该做什么。于是
我只得自已找个地方坐下了。

Borcherds 开门见山地说：“我不善于表达感情等诸如此类的东
西。我曾在某个地方看到这样的说法，即人脑的左侧专管数学，而右
侧专管情感及表达。我常常觉得这两者之间似乎真是割裂开来的。”

数学研究并不象许多人认为的那样仅是纯粹的推理—至少对
Borcherds 来说不是如此。他说：“逻辑推理过程仅在最后才出现。
事实上，检查所有细节是否真的正确无误是非常艰苦累人的工作。而
在那之前，你必须靠大量的实验、猜测和直观感觉把所有东西融合在
一起。”

这也点明了同Borcherds 交谈时最令人望而生畏之处：透过他的
眼睛和研究工作，你可以瞥见整整另外一个世界——一个充满着真实
的但非物质的神奇事物的世界。 Borcherds整天整天地探索数学的深
奥空间，并且事实上他似乎无论什么时候总有一只脚踩在数学的空间
中——如果他那常常是遥望远方的全神贯注的眼神和他特意选择在今
天穿上一身褐色的有皱纹服装能说明问题的话。

他说：“有些数学显然是人类发明的”，尤其是那些与我们使用
10进制记数法这一事实有关的数学。“但是我认为有些数学是在被发
现之前就的确存在的。试以毕达哥拉斯定理为例。这个定理曾被不同
的古代文明互相独立地重新发现过好几次。它是实际存在的。如果在
半人马座阿尔法星的全盛时期有些毛茸茸的动物在搞数学研究的话，
它们也会有某种形式的毕达哥拉斯定理。”

而且，如果这些毛茸茸的外星人进一步对数学的抽象宇宙作了大
量探索的话，它们也许会跟Borcherds一样，碰到3个引人注目的对象
并发现它们彼此间存在着某种深刻的但仍然是相当神秘的联系。然而，
它们或许不会象Borcherds 的导师，剑桥大学教授John H. Conway那
样，把这个问题称为“神秘的月光猜想”。

这个问题始于1978年，当时康科迪亚大学的John Mckay—种相当
怪异的巧合吸引住了。他回忆说：“那时我正在阅读一本十九世纪的
关于椭圆摸函数的著作，并且注意到特别是其中一种模函数的展开式
存在着某种奇异之处”。这种模函数就是所谓的 j函数。加利福尼亚
大学里弗赛德分校的John C. Baez解释说：“当你开始研究把复平面
卷绕起来所作出的炸面饼圈的表面时”，这种椭圆模函数就出现了．
在一张方格纸上，把竖行标以整数(1, 2, 3,…)，横行标以虚数(1i,
2i, 3i,…)。然后你可以把这张纸卷成一个筒形，把它的两头粘在一
起，做成具有不同大小和形状的炸面饼圈。Baez进一步阐述道：“粗
略地说就是，如果你给我这样一种环面形状，那么我就能够利用 j函
数把该形状转换成一个特殊的复数。”虽然 j函数听起来相当神秘，
但它却是物理学和数学中的一种十分有用的工具。

当 Mckay查看 j函数展开成无穷级数后其各项的系数时，这一奇
异的巧合就出现在他眼前了。第三个系数是196884。这个系数顿时使
他想起了另一个数．

为了向我说明其原委，Borcherds 费力地从他的办公桌上拿起一
本有世界地图那么大的书。他打开此书，翻到一份载有许多数字的表。
这些数字印得非常之小，仅能勉强辨认出来。表中的第一个数是 l，
下一个数是196883。这两个数加起来等于 j函数展开式的第 3项系数，
这一巧合是非常奇怪的，因为该表同椭圆函数没有任何关系。
Borcherds 把这本印满了细小字体的大部头书哗哗地翻过 8页左右，
说：“这些数字构成了‘怪物’ ( Monster) 的特征表。”

“怪物”的全名是怪物单群(Monster simple group)，因为它是
现今己知的最大的散在有限单群． Borcherds说，为了搞清楚这意昧
着什么，“假定有一个古希腊人想要了解普通立体的对称性。他找到
一个立方体 (立方体是非常容易构造的) ，并发现它有24种对称性。”
这就是说，有24种转动立方体后使它看起来保持不变的旋转方式。这
些对称性构成一个有24个元素的有限群。

Borcherds 继续说：“然后，这个希腊人或许作出了一个正四面
体，它产生一个有12种对称性的群。接下来他可能会注意到，他已经
知道的几何立体还没有一个其对称性的数量为 5的倍数—但是他可能
会推理说这样的立体是存在的．后来，另外某个人可能真的构造出一
个正十二面体，它有60种对称性，从而证明第一个人的猜想是对的。
事实上，当毕达哥拉斯学派的确发现了正十二面体时，他们把它当作
一项天大的秘密来保护，甚至绞死了该学派的一位敢于公布正十二面
体存在这一消息的成员．那个时代人们对待他们的数学成果是极为认
真的．”

数学不大可能会再闹出人命来了，但是有相当多的数学家把他们
的大半精力用在解决怪物群之谜的问题上．其实，早在怪物群被成功
地构造出来许多年前，数学家们就预言了它的存在．它也代表了某种
东西的对称性，至于究竟是什么东西，数学家们并没有线索．肯定是
某种复杂得不得了以致很难再称它为几何立体的东西，因为怪物不是
3 维，而是196883维，以及21296876维，以及在 Borcherds的表的第
l 栏中列出的所有更高维数．

不论是什么东西产生了怪物群，它都必定是极其对称的，因为，
据 Mckay说，“怪物群的元素比太阳中的基本粒子 (包括夸克、电子
等等) 的数目还要多好几倍．”确切地说，怪物群有
808017424794512875886459904961710757005754368000000000个元素。
Borcherds 回忆道，有限群同模函数完全风马牛不相及，因此，
“当John Mckay把他的发现— j函数展开式的第 3个系数同怪物群的
最低维数一致——公诸于世时，人们都说他纯粹是有神经病．任何人
都简直不能想象这二者之间会有什么联系。”但是最后其他人也终于
注意到这些巧合的程度之大令人不能忽视。Borcherds 说：“结果证
明，模函数展开式中的每一个系数都是怪物群的维数表中某些数之和
。”Conway和其他一些人推想，这些联系决不是巧合，而是更深层次
上的某种统一性的反映。他们给这一大胆的猜想取名为“月光” (
Moonshine ) ，一个新的数学专业由此应运而生，试图攻克这个难题。

据Borcherds 说，当时他正在剑桥大学吃力地争取拿到博士学位，
他本该来听听这些演讲的，却因忙于完善他的Go游戏而抽不开身。但
是不知怎么的 Conway却对他印象不错，并指定他来搞月光问题。

1989年的一天 (这是他苦心钻研月光问题 8年之后了) ,
Borcherds 被困在克什米尔一辆熄了火的公共汽车里。他虽然身在车
上，心却在另外一个无边无际的抽象世界里漫游．正是那时，他发现
了此难题的第三部分，此部分把两个部分互相联系起来．妙就妙在建
立此种联系的这个第三部分就是弦理论 (通过26这个数) ．

物理学家多年来一直在梦想各种各样的无穷小弦，希望借此用一
种理论来解释宇宙中的所有现象．他们的基本想法是，所有的基本粒
子都不是物质结构的最终单元；它们实际上是由一维弦的环组成的．

为了了解自然法则在不同的理论中是如何起作用的，物理学家们
很早以来就在画杆形图 (Stick-figure diagram) ．这种图中每一根
线代表一个粒子的径迹，而交点(即顶点)则是粒子碰撞或相互作用的
地方．Baez解释说：“在弦理论中，研究人员处理的是小小的环圈而
不是点，因此他所用的图不是由线段组成，而是由管子组成，这些管
子通过零碎的连接管连起来．弦理论中所用的数学借助所谓顶点代数
来描述这些管子相交处所发生的情况．”

Baez指出，弦理论的一个令人不快的事实是，“当你试图用弦理
论进行计算时，你需要某些东西相互抵消，而这只有在引入额外24个
维的情况下才可能发生，”这样总共就有26个维 (时间和弦本身各占
一维) ．Borcherds 说：“这对物理学家来说是坏消息．然而26维却
正是对付怪物所需要的维数。如果弦理论的关键一维不是26，我就无
法证明月光猜想．”

但幸好弦理论的关键一维正是26，而Borcherds 也就得以通过发
明一种独特的顶点代数—实质上也就是弦理论的法则—证明了月光猜
想。Baez解释说：“这种顶点代数描述了弦在一个26维空间中的振动
情况，这个空间的独特之处在于它的所有26个维都是卷绕的。它好象
是一个微型炸面饼圈通过一种仅在26维空间中有效的技术以最巧妙的
方式折选到自身上。”过一种仅在26维空间中有效的技术以最巧妙的

当然，复杂的炸面饼圈同 j函数就是一回事。而Borcherds 证明
了怪物就是这个特殊的弦理论的所有各种对称性的群．顺便说说，这
一弦理论几乎可以肯定是同我们所在的现实宇宙没有任何关系的理论．
但它现在是Borcherds 为之几乎花费了全部精力的那个替代宇宙中受
到充分研究的一个领域。

Baez沉思着说：“靠了许许多多完全不可思议的巧合凑在一起，
才成就了这项杰出的发现．我觉得可能有什么更大、更深奥的东西隐
藏在里面，还没有被发现．Borcherds 已经着手揭开它的真面目。但
还有不少奥秘有待探索”．

[刘丽薇译 冉隆华校]

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※ 来源:．The unknown SPACE bbs.mit.edu

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