正负算法生成圆

　正负法是利用平面曲线将平面划分成正负区域，对当前点产生的圆函数进行符号判别，利用负反馈调整以决定下一个点的产生来直接生成圆弧。

　　一、正负画圆算法描述

　　设要显示圆的圆心在原点(0，0)，半径为R，初始点的坐标为(0，R)，顺时针生成八分之一圆，令：F(x，y)=x²+y²-R²

则圆的方程为：

F(x，y)=0

(2-27)

当点(x，y)在圆内时，则F(x，y)<0；
当点(x，y)在圆外时，则F(x，y)>0；
当点(x，y)在圆上时，则F(x，y)=0；

　　二、正负画圆算法思想

　　现以下图的AB弧为例，来说明正负画圆法(顺时针生成圆)。

　　假设当前点为P_i(x_i，y_i)，取下一个点P_i+1(x_i+1，y_i+1)的原则是：
　　1、当F(x_i，y_i)≤0时：取x_i+1= x_i+1，y_i+1= y_i。即向右走一步，从圆内走向圆外。对应图(a)中的从P_i到P_i+1。
　　2、当F(x_i，y_i)>0时：取x_i+1= x_i，y_i+1= y_i-1。即向下走一步，从圆外走向圆内。对应图(b)中的从P_i到P_i+1。

　　由于向圆内或向圆外走取决于F(x_i，y_i)的正负，因此称为正负法。

　　下面分两种情况求出F(x_i，y_i)的递推公式：
　　(1) 当F(x_i，y_i)≤0时，向右走，取x_i+1=x_i+1，y_i+1=y_i，则

F(xi+1，yi+1)

=F(xi+1，yi) =(xi+1)2+yi2-R2 =(xi2+yi2-R2)+2xi+1 = F(xi，yi)+2xi+1

(2-28)

　　(2) 当F(x_i，y_i)>0时，向下走，取x_i+1=x_i，y_i+1=y_i-1，则

F(xi+1，yi+1)

=F(xi，yi-1) =xi2+(yi-1)2-R2 =(xi2+yi2-R2)-2yi+1 = F(xi，yi)-2yi+1

(2-29)

　　初始时，x=0，y=R，故

F(0，R)=(02+R2)-R2=0

(2-30)

　　公式(2-28)、(2-29)和(2-30)就构成正负画圆算法的核心。

　　给象素坐标(x，y)及F赋初始值后，进入循环画点；

　　画点后，根据F的符号进行F值的递推和下一个点的获取，直到x>y为止。

　　同前面介绍的一样，利用圆的八分对称性，循环一次，画八个点。

　　三、正负画圆算法实现

　　注意：初值不同、圆的生成方向不同时，当前点和下一个点的获取原则是不同的，见下图。

　　例如，初始点(R，0)，逆时针生成圆，从图（b）可知：

　　若当前点P_i在圆内，则下一点P_i+1(x_i，y_i+1)，即向上走一步；
　　若当前点P_i在圆外，则下一点P_i+1(x_i-1，y_i)，即向左走一步；

(a) 顺时针生成圆　　　 　　　　(b) 逆时针生成圆