Commons Math学习笔记——多项式函数

2.2 多项式函数

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在 Commons Math中的 analysis.polynomials包中有所有的与多项式函数相关的类和接口定义。这一篇主要从这个包分析，来研究一下多项式函数的应用。

 

Polynomials包中没有 interface的定义，下属含有 5个类： PolynomialFunction、 PolynomialFunctionLagrangeForm、 PolynomialFunctionNewtonForm、 PolynomialSplineFunction和 PolynomialsUtils。其中主要的只有 PolynomialFunction和 PolynomialSplineFunction，正如 api doc中的介绍， PolynomialFunction类是 Immutable representation of a real polynomial function with real coefficients——实数多项式的表示； PolynomialSplineFunction类是 Represents a polynomial spline function.——样条曲线多项式的表示。另外两个表示拉格朗日和牛顿形式的多项式函数。而 PolynomialsUtils类中提供了几个构造个别（比如切比雪夫多项式）多项式的静态方法。

我觉得最常用的应该就是实数系数的多项式了，因此以 PolynomialFunction类为例来进行分析。实数系数的多项式函数形如： f(x) = ax^2 + bx + c。 PolynomialFunction类实现了 DifferentiableUnivariateRealFunction接口，因此必须实现 value()和 derivative()方法，并且实现该接口也表明这是一元可微分的实数函数形式。 PolynomialFunction类定义了一组 final double coefficients[]作为多项式系数，其中 coefficients[0]表示常数项的系数， coefficients[n]表示指数为 n的 x^n次项的系数。因此，这个类所表达的多项式函数是这样的： f(x)=coeff[0] + coeff[1]x + coeff[2]x^2 + … + coeff[n]x^n。它的构造方法是 PolynomialFunction(double [])就是接受这样的 coefficients数组作为系数输入参数来构造多项式的。这个是很好表达也很方便理解的。那么它的 value(double x)方法是通过调用 double evaluate(double [] coefficients, double argument)实现的，本质用 Horner's Method求解多项式的值，没有什么技术难点，非常好理解的一个给定参数和函数求值过程。剩余定义的一些加减乘等操作，都是通过一个类似public PolynomialFunction add(final PolynomialFunction p)这样的结构实现的。求导数的方法 derivative()是通过这样的一个微分操作实现的。见源码：

 

 

 1 protected   static   double [] differentiate( double [] coefficients)  {
 2          int  n  =  coefficients.length;
 3          if  (n  <   1 )  {
 4              throw  MathRuntimeException.createIllegalArgumentException( " empty polynomials coefficients array " );
 5         }
 6          if  (n  ==   1 )  {
 7              return   new   double [] { 0 } ;
 8         }
 9          double [] result  =   new   double [n  -   1 ];
10          for  ( int  i  =  n  -   1 ; i   >   0 ; i -- )  {
11             result[i  -   1 ]  =  i  *  coefficients[i];
12         }
13          return  result;
14     }
15

 

测试代码示例如下：

 1 /** */ /**
 2  * 
 3   */
 4 package  algorithm.math;
 5
 6 import  org.apache.commons.math.ArgumentOutsideDomainException;
 7 import  org.apache.commons.math.analysis.polynomials.PolynomialFunction;
 8 import  org.apache.commons.math.analysis.polynomials.PolynomialSplineFunction;
 9
10 /** */ /**
11  *  @author  Jia Yu
12  * @date 2010-11-21
13   */
14 public   class  PolinomialsFunctionTest  {
15
16      /** */ /**
17      *  @param  args
18       */
19      public   static   void  main(String[] args)  {
20          //  TODO Auto-generated method stub
21         polynomials();
22         System.out.println( " ----------------------------------------------- " );
23         polynomialsSpline();
24     }
25
26      private   static   void  polynomialsSpline()  {
27          //  TODO Auto-generated method stub
28         PolynomialFunction[] polynomials  =   {
29                  new  PolynomialFunction( new   double []  { 0d, 1d, 1d } ),
30                  new  PolynomialFunction( new   double []  { 2d, 1d, 1d } ),
31                  new  PolynomialFunction( new   double []  { 4d, 1d, 1d } ) } ;
32          double [] knots  =   {  - 1 ,  0 ,  1 ,  2  } ;
33         PolynomialSplineFunction spline  =   new  PolynomialSplineFunction(knots,
34                 polynomials);
35          // output directly
36         System.out.println( " poly spline func is  " + spline);
37          //  get the value when x = 0.5
38          try   {
39             System.out.println( " f(0.5) =  " + spline.value( 0.5 ));
40         }   catch  (ArgumentOutsideDomainException e)  {
41              //  TODO Auto-generated catch block
42             e.printStackTrace();
43         }
44          //  the number of spline segments
45         System.out.println( " spline segments number is  " + spline.getN());
46          //  the polynomials functions
47          for ( int  i = 0 ;i < spline.getN();i ++ ) {
48             System.out.println( " spline:f " + i + " (x) =  " + spline.getPolynomials()[i]);
49         }
50          // function derivative
51         System.out.println( " spline func derivative is  " + spline.derivative());
52     }
53
54      private   static   void  polynomials()  {
55          //  TODO Auto-generated method stub
56          double [] f1_coeff  =   {  3.0 ,  6.0 ,  - 2.0 ,  1.0  } ;
57          double [] f2_coeff  =   {  1.0 ,  2.0 ,  - 1.0 ,  - 2.0  } ;
58         PolynomialFunction f1  =   new  PolynomialFunction(f1_coeff);
59         PolynomialFunction f2  =   new  PolynomialFunction(f2_coeff);
60          //  output directly
61         System.out.println( " f1(x) is :  "   +  f1);
62         System.out.println( " f2(x) is :  "   +  f2);
63          //  polynomial degree
64         System.out.println( " f1(x)'s degree is  "   +  f1.degree());
65          //  get the value when x = 2
66         System.out.println( " f1(2) =  "   +  f1.value( 2 ));
67          //  function add
68         System.out.println( " f1(x)+f2(x) =  "   +  f1.add(f2));
69          //  function substract
70         System.out.println( " f1(x)-f2(x) =  "   +  f1.subtract(f2));
71          //  function multiply
72         System.out.println( " f1(x)*f2(x) =  "   +  f1.multiply(f2));
73          //  function derivative
74         System.out.println( " f1'(x) =  "   +  f1.derivative());
75         System.out.println( " f2''(x) =  "
76                  +  ((PolynomialFunction) f2.derivative()).derivative());
77
78     }
79
80 }
81

输出如下：
f1(x) is : 3.0 + 6.0 x - 2.0 x^2 + x^3
f2(x) is : 1.0 + 2.0 x - x^2 - 2.0 x^3
f1(x)'s degree is 3
f1(2) = 15.0
f1(x)+f2(x) = 4.0 + 8.0 x - 3.0 x^2 - x^3
f1(x)-f2(x) = 2.0 + 4.0 x - x^2 + 3.0 x^3
f1(x)*f2(x) = 3.0 + 12.0 x + 7.0 x^2 - 15.0 x^3 - 8.0 x^4 + 3.0 x^5 - 2.0 x^6
f1'(x) = 6.0 - 4.0 x + 3.0 x^2
f2''(x) = -2.0 - 12.0 x
-----------------------------------------------
poly spline func is org.apache.commons.math.analysis.polynomials.PolynomialSplineFunction@69b332
f(0.5) = 2.75
spline segments number is 3
spline:f0(x) = x + x^2
spline:f1(x) = 2.0 + x + x^2
spline:f2(x) = 4.0 + x + x^2
spline func derivative is org.apache.commons.math.analysis.polynomials.PolynomialSplineFunction@173a10f

PolynomialFunction类也是重写了 toString方法和 hashCode和 equals方法的。

PolynomialSplineFunction类是多项式样条函数，样条 是一种特殊的函数，由多项式分段定义。表示了一个由多个多项式组成的样条曲线。它的实现主要是内部定义了一个多项式函数组 PolynomialFunction polynomials[]和一个样条分界节点数组 double knots[]。这两个内部成员分别表示什么呢？分界节点表示整条曲线对应在 x等于 knots[i]的时候开始使用其他多项式样条，其构造方法 public PolynomialSplineFunction(double knots[], PolynomialFunction polynomials[])完成这样的功能。

举例来说，一个多项式样条函数就是一个分段函数：

      X^2+x    [-1,0)

F(x) = x^2+x+2   [0,1)

      X^2+x+4 [1,2)

当然，构造方法中的参数， knots[]数组必须是递增的。

可以看到，直接输出 PolynomialSplineFunction是多么丑陋啊 ~~，因为它没有重写 toString方法。同样，它的导数也是一样的丑陋。其中如果给定的值不在定义域内， value方法还抛出异常 ArgumentOutsideDomainException。

最后 PolynomialFunctionLagrangeForm和 PolynomialFunctionNewtonForm类完成的其实是多项式插值的功能，放到下一节研究的。

相关资料：

多项式： http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%87%BD%E6%95%B0#.E5.A4.9A.E9.A0.85.E5.BC.8F.E5.87.BD.E6.95.B8.E5.8F.8A.E5.A4.9A.E9.A0.85.E5.BC.8F.E7.9A.84.E6.A0.B9

样条函数： http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%A0%B7%E6%9D%A1%E5%87%BD%E6%95%B0

Horner Methods： http://mathworld.wolfram.com/HornersMethod.html

Commons math包： http://commons.apache.org/math/index.html