曲线拟合

实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线拟合的方法很多，本节只介绍曲线直线化。

一、曲线直线化的意义

曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。

二、常用的非线性函数

1.指数函数(exponential function)

Y=aebX(12.29)

对式（12.29）两边取对数，得

lnY=lna+bX(12.30)

b>0时，Y随X增大而增大；b<0时，Y随X增大而减少。见图12.4(a)、(b)。当以lnY和X绘制的散点图呈直线趋势时，可考虑采用指数函数来描述Y与X间的非线性关系，lna和b分别为截距和斜率。

更一般的指数函数

Y=aebX+k(12.31)

式中k为一常量，往往未知, 应用时可试用不同的值。

2.对数函数（lograrithmic function）

Y=a+blnX(X>0)(12.32)

b>0时，Y随X增大而增大，先快后慢；b<0时，Y随X增大而减少，先快后慢，见图12.4(c)、(d)。当以Y和lnX绘制的散点图呈直线趋势时，可考虑采用对数函数描述Y与X之间的非线性关系，式中的b和a分别为斜率和截距。

更一般的对数函数

Y=a+bln(X+k) (12.33)

式中k为一常量，往往未知。

 

YYYY

XXXX

(a)lnY=lna+bX(b)lnY=lna-bX(c)Y=a+blnX(d)Y=a-blnX

图12.4曲线示意

3.幂函数（power function）

Y=aXb(a>0,X>0)(12.34)

式中b>0时，Y随X增大而增大；b<0时，Y随X增大而减少。

对式（12.34）两边取对数，得

lnY=lna+blnX(12.35)

所以，当以lnY和lnX绘制的散点图呈直线趋势时，可考虑采用幂函数来描述Y和X间的非线性关系，lna和b分别是截距和斜率。

更一般的幂函数

Y=aXb+k(12.36)

式中k为一常量，往往未知。

三、利用线性回归拟合曲线的一般步骤

（一）绘制散点图，选择合适的曲线类型

一般根据资料性质结合专业知识便可确定资料的曲线类型，不能确定时，可在方格坐标纸上绘制散点图，根据散点的分布，选择接近的、合适的曲线类型。

（二）进行变量变换

Y’=f(Y),X’=g(X)(12.37)

使变换后的两个变量呈直线关系。

（三）按最小二乘法原理求线性方程和方差分析

（四）将直线化方程转换为关于原变量X、Y的函数表达式

[例10.8] 某研究室以已知浓度X的

免疫球蛋白A（IgA,）作火箭电泳，测得火箭高度Y（mm）如表12.2资料（1）、（2）列。试求Y关于X的非线性回归方程。

表10.2火箭电泳实验资料

IgA() X (1)	火箭高度（mm） Y (2)	(3)	(4)
0.2	7.6	-1.60944	7.22842
0.4	12.3	-0.91629	12.61907
0.6	15.7	-0.51083	15.77239
0.8	18.2	-0.22314	18.00972
1.0	18.7	0	19.74512
1.2	21.4	0.18232	21.16304
1.4	22.6	0.33647	22.36188
1.6	23.8	0.47000	23.40036

1.以资料（1）、（2）列数据在方格纸上作散点图，见图12.5,图形与图12.4（c）相近，故可尝试对数变换。

 

3.按最小二乘法原理求Y关于X’的线性方程，得

=19.75+7.78X’

通过对回归系数的假设检验表明该线性方程具有统计学意义。

4.求曲线方程将X’=lnX代入求得的直线方程，得