时间复杂度和空间复杂度的概念

算法复杂度　分为时间复杂度和空间复杂度。其作用： 时间复杂度是度量算法执行的时间长短；而空间复杂度是度量算法所需存储空间的大小。
时间复杂度
1.时间频度

　　一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。
2.计算方法

　　1. 一般情况下，算法的基本操作重复执行的次数是模块n的某一个函数f（n），因此，算法的时间复杂度记做：T（n）=O（f（n））

　　分析：随着模块n的增大，算法执行的时间的增长率和f（n）的增长率成正比，所以f（n）越小，算法的时间复杂度越低，算法的效率越高。

　　2. 在计算时间复杂度的时候，先找出算法的基本操作，然后根据相应的各语句确定它的执行次数，再找出T（n）的同数量级（它的同数量级有以下：1，Log2n ，n ，nLog2n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n！），找出后，f（n）=该数量级，若T(n)/f(n)求极限可得到一常数c，则时间复杂度 T（n）=O（f（n））

　　例：算法：

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   1. for（i=1;i<=n;++i） {  
   2.     for(j=1;j<=n;++j) {  
   3. 　　  c[i][j]=0; //该步骤属于基本操作 执行次数：n的平方 次  
   4. 　　  for(k=1;k<=n;++k){ 
   5.                 c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //该步骤属于基本操作 执行次数：n的三次方 次  
   6.             }    
   7. 　}  
   8. } 

for（i=1;i<=n;++i） { for(j=1;j<=n;++j) { 　　 c[i][j]=0; //该步骤属于基本操作 执行次数：n的平方 次 　　 for(k=1;k<=n;++k){ c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //该步骤属于基本操作 执行次数：n的三次方 次 } 　} }

则有 T（n）= n的平方+n的三次方，根据上面括号里的同数量级，我们可以确定 n的三次方 为T（n）的同数量级

　　则有f（n）= n的三次方，然后根据T（n）/f（n）求极限可得到常数c

　　则该算法的 时间复杂度：T（n）=O（n的三次方）
3.分类

　　按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：

　　常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n),

　　线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n2)，立方阶O(n3),...，

　　k次方阶O(nk), 指数阶O(2n) 。随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。
空间复杂度

　　与时间复杂度类似，空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量。记作:

　　S(n)=O(f(n))

　　我们一般所讨论的是除正常占用内存开销外的辅助存储单元规模。

Floyd：求多源、无负权边的最短路。用矩阵记录图。时效性较差，时间复杂度O(V^3)。

  Dijkstra：求单源、无负权的最短路。时效性较好，时间复杂度O(V^2)。可以用堆优化。

  Bellman-Ford：求单源最短路，可以判断有无负权回路（若有，则不存在最短路），时效性较好，时间复杂度O（VE）。

  SPFA：是Bellman-Ford的队列优化，时效性相对好，时间复杂度O（kE）。（k<<V）。

  宽搜：求单源无权最短路。矩阵记录法时间复杂度O(V^2)；边表记录法时间复杂度O(kE)。



  稠密图单源无负权最短路：Dijkstra。

  稠密图单源有负权最短路：SPFA。

  稀疏图单源最短路：SPFA或Bellman-Ford。

  多源无负权最短路：Floyd。

  多源无权最短路：宽搜。